terça-feira, 28 de junho de 2011

Cálculo dos períodos de forma proporcional para juros

Nas fórmulas de juros simples (J = i x n) e compostos (J = (1 + i)^n - 1) usamos o termo n para informar o número de períodos para capitalização.

Quando é necessário uma precisão no cálculo dos juros, usa-se uma forma proporcional (pro rata) na inclusão dos períodos incompletos ou fracionados. Comumente fraciona-se o período em dias (pro rata die).

Em um cálculo de aplicação de juros ao mês, para obter o n soma-se a quantidade de períodos (meses), desde que estejam completos. Para somar os períodos incompletos, os meses fracionados entram na soma na forma de razão (fração). Assim, para incluir 5 dias de um mês com 30 dias é utilizada a razão 5/30.

Por exemplo, o valor de n para representar do dia 27/01 até 26/06, em um cálculo de juros ao mês, é:

n = 4/31 + 4 + 26/30 = 4,9957 meses

Onde:

4/31 é a fração de Janeiro;
4 são os meses de Fevereiro a Maio;
26/30 é a fração de Junho.

O cálculo pro rata die é o mais utilizado e sua aplicação é recomendada quando não houver uma instrução específica em contrário.

Equivalência de taxas de juros

Para aplicar as fórmulas de cálculo dos juros simples ou compostos, a taxa e o tempo devem estar na mesma unidade, por exemplo se o número de períodos for medido em meses, a taxa de juros deve ser ao mês. Se a taxa e o tempo estiverem em unidades diferentes, é necessária a conversão para descobrir a taxa equivalente.

Duas taxas de diferentes períodos de capitalização são equivalentes, se aplicadas ao mesmo valor presente durante o mesmo período de tempo, produzem o mesmo montante final. Por exemplo, uma taxa de juros ao mês pode ser equivalente a uma taxa de juros ao ano, se aplicadas uma em 12 meses e a outra em um ano, com ambas produzindo o mesmo montante.

A lógica para a equivalência pode ser exemplificada assim:

Sendo PV aplicado por um ano a uma taxa anual ia, o montante M após 1 ano será igual a PV x (1 + ia). O mesmo PV aplicado por 12 meses a uma taxa mensal im, o montante após 12 meses será igual a PV x (1 + im)^12. Desta forma, se as taxas ia e im forem equivalentes, PV x (1 + ia) será igual a PV x (1 + im)^12. Conclui-se que 1 + ia = (1 + im)^12. Com esta fórmula podemos calcular a taxa anual equivalente a uma taxa mensal conhecida, ou vice-versa.

Sabendo quantos períodos b existem no período a, podemos aplicar a fórmula onde n é o número de períodos b em a, para obter a equivalência entre as taxas ipa e ipb:


Por exemplo, a taxa mensal im equivalente a 0,5% ao dia será:

1 + im = (1 + 0,5/100)^30
im = 0,1614  portanto i = 16,14% a.m.

Como prova, o sentido inverso:

1 + 16,14/100 = (1 + id)^30
id = 0,005  portanto i = 0,5% a.d.

Esta fórmula é indicada para juros compostos, pois em juros simples a taxa equivalente é simplesmente a multiplicação da taxa pelo número de períodos. Ex.: ia = im x 12.

Dos juros simples para os juros compostos

Usado na matemática financeira, o juro é uma taxa percentual incidente sobre um valor ou quantia numa unidade de tempo determinado. Trata-se de uma compensação ou remuneração sobre o valor inicial. Pode ser expresso em valor monetário ($) ou como uma taxa de juro (%).

No cálculo dos juros, os termos que compõem as fórmulas são os seguintes:

PV = Valor Presente (do inglês Present Value) é o valor inicial, também chamado de valor principal, valor atual, valor original ou capital;

i = Taxa de juros (do inglês Interest Rate), é a taxa aplicada numa unidade de período;

n = Número de períodos, com a unidade de medida do período sendo ao dia (a.d.), ao mês (a.m.) ou ao ano (a.a.);

M = Montante é o valor final, ou Valor Futuro (em inglês, Future Value, FV);

J = Juros, é a taxa aplicada após n períodos;

VJ = Valor dos Juros, é o valor monetário no qual representa J e que será adicionado ao valor presente para compor o montante.

Os juros podem ser calculados de duas formas, como juros simples ou juros compostos. Os juros simples incidem sobre o valor presente mas não sobre os juros dos períodos anteriores. Ocasionando uma progressão aritmética do valor. Os juros compostos incidem sobre o valor presente e também sobre os juros dos períodos anteriores, sendo juros sobre juros. O valor dos juros de cada período é incorporado ao valor presente e passa a render juros também. Ocasionando uma progressão geométrica.

Por exemplo, PV = 100,00 e taxa de juros de 10%:

Juros Simples: 100 + 30%


Juros Compostos: 100 + 33,1%


Os juros simples podem ser resolvidos por uma regra de três composta, onde o valor presente, em um período produz i, e o valor presente, em n períodos produz J:


Resolvendo a regra de três composta obtemos a fórmula para cálculo dos juros simples:


Os juros simples no final dos períodos é basicamente a taxa de juros vezes o número de períodos:


Como a taxa de juros é uma porcentagem então o número na fórmula fica expresso em uma razão centesimal:


A fórmula somente é válida quando a taxa e o tempo estiverem numa mesma unidade, por exemplo se a taxa de juros for ao mês, o número de períodos deve ser em meses.

Sabendo os juros que serão aplicados, o valor dos juros é o valor presente vezes os juros:


O montante, ou valor futuro, é o valor presente mais o valor dos juros:


Substituindo o termo VJ, sabendo que VJ = PV x i x n, então o montante também pode ser obtido por:


Exemplo prático para cálculo dos juros simples:

Qual o valor futuro de R$ 300,00 após 6 meses com juros simples de 7% a.m.?

J = 7/100 x 6 = 0,42  portanto J = 42%

VJ = 300 x 0,42 = 126  portanto VJ = R$ 126,00

M = 300 + 126 = 426  portanto M = R$ 426,00

Para os juros simples vimos que o valor dos juros é constante, acrescido período à período, calculado sempre sobre o valor inicial. Nos juros compostos o acréscimo entre cada período é calculado sobre o valor do período anterior, que atua como um montante parcial.

A fórmula para cálculo dos juros compostos pode ser deduzida a partir da fórmula dos juros simples. Demonstrando, para o primeiro período, desta forma n = 1, os juros serão:


Sabendo que J = i, VJ = PV x J e M = PV + VJ, então o montante para este primeiro período corrido será:


No cálculo dos juros compostos o primeiro montante passa a ser o valor presente do próximo período, assim, o segundo montante é o montante anterior mais o valor dos juros anterior. E substituindo os termos podemos chegar a uma fórmula simplificada:


Da mesma forma, o cálculo para o período seguinte é realizado usando o segundo montante para ser o valor presente do terceiro período:


Podemos perceber, pela identificação do período e pela potência, que a fórmula para o cálculo do montante final nos juros compostos, após todos os períodos, com n sendo o número de períodos, é:


A fórmula para o cálculo dos juros compostos pode ser dada por uma das seguintes simplificações:

Se M = PV x (1+i)^n e VJ = M - PV = PV x J, então:


Ou se M = PV + VJ, M = PV x (1+i)^n e VJ = PV x J, então:


Em ambas as simplificações chega-se a fórmula para juros compostos:


Exemplo prático para cálculo dos juros compostos:

Qual o valor futuro de R$ 300,00 após 6 meses com juros compostos de 7% a.m.?

J = (1+7/100)^6 - 1 = 0,5007  portanto J = 50,07%

VJ = 300 x 0,5007 = 150,21  portanto VJ = R$ 150,21

M = 300 + 150,21 = 450,21  portanto M = R$ 450,21

sexta-feira, 17 de junho de 2011

Problema de Lógica: Algarismos invertidos no cheque

Uma pessoa, ao preencher um cheque, inverteu o algarismo da dezena com o da centena. Por isso, pagou a mais a importância de R$ 270,00. Sabendo que os dois algarismos estão entre si como 1 está para 2, calcule os algarismos que foram escritos no cheque nas casas da centena e da dezena.





RESPOSTA





Primeiramente, é irrelevante saber quantos algarismos possui o valor preenchido no cheque, se avança para a casa do milhar etc., como também não é necessário saber o valor na casa da unidade. Nesta solução vamos adotar zero para estas casas.

A relação entre os dois algarismos é que um é duas vezes o outro, sendo assim vamos chamá-los de x e 2x.

Como a diferença paga foi de R$ 270,00 então o maior valor menos o menor valor é igual à 270. O maior valor possui o 2x na casa da centena, com o x na casa da dezena, e o menor valor possui o inverso, o x na casa da centena e o 2x na casa da dezena.

Considerando somente os algarismos das casas da dezena e centena, podemos montar a seguinte equação:

(2x*100 + x*10) - (x*100 + 2x*10) = 270
200x + 10x - 100x - 20x = 270
90x = 270
x = 270/90
x = 3

Os dois algarismos são 3, que foi escrito na casa da dezena, e 6, que foi escrito na casa da centena. O valor correto poderia ser R$ 360,00 e a pessoa preencheu escrevendo R$ 630,00.

quinta-feira, 16 de junho de 2011

Método visual de multiplicação

Existe um método de resolver uma operação de multiplicação utilizando um recurso visual, isto é, fazendo um desenho ao invés da montagem com os números.

Este método está divulgado na forma de vídeo, por exemplo neste endereço (http://www.youtube.com/watch?v=hb0edtjO6Ks) ou neste outro (http://www.youtube.com/watch?v=tm2PugNdq1w).

O cálculo é feito traçando retas que simbolizam os dígitos dos fatores e somando os pontos onde as retas se cruzam, totalizando cada dígito do produto. Visualmente bem fácil.

Mas por que este método dá certo? O que representam estes pontos onde as retas se cruzam? Vou tentar explicar.

Quando multiplicamos números com dois ou mais dígitos, sempre fazemos a multiplicação individual dígito à dígito, partindo da casa da unidade para as seguintes e colocando os resultados individuais posicionados em uma operação de soma. Para concluir, realizamos esta soma para obter o produto final. Este é o método tradicional, usando números.

No método visual, os grupos de pontos representam os resultados de cada multiplicação individual. Semelhante aquela atividade lúdica onde a criança soma os cubinhos para resolver a multiplicação.

Na próxima etapa, da mesma forma que somamos as casas para obter o produto final, é feita a soma dos grupos de pontos para obter cada dígito do resultado.

As duas imagens ilustram o comparativo entre o método visual e o método tradicional:


As linhas pontilhadas (em cinza) representam a separação das colunas na operação de soma do método tradicional. Cada coluna gera o respectivo dígito do produto final.

Aproveitando este artigo, a próxima imagem ilustra um exemplo com números de quantidade de dígitos diferentes e também com um zero dentre os dígitos:


Quando um fator contém um zero dentre os dígitos, traça-se uma linha fictícia, simbolizando o zero, para não perder o alinhamento dos grupos de pontos. O mesmo faz com o número menor, para igualar as casas decimais, simbolizando o zero à esquerda que não existe. Não existem pontos para serem somados nos casos de cruzamentos com linhas fictícias.

Repare que neste último exemplo alguns dos produtos individuais possuem duas casas decimais (2x7=14, 4x7=28 e 4x3=12). O método visual tende a exibir melhor a passagem dos dígitos da dezena para a próxima casa à esquerda.

Este método visual vai bem com números que tenham dígitos de valores pequenos. O número 9 por exemplo torna nada prático riscar nove retas, imagine 9x9. É útil para quem não sabe a tabuada.