O conceito do conhecimento comum é a base na teoria dos jogos. A clássica teoria dos jogos assume que todo conhecimento é "conhecimento comum", exceto por partes específicas de informações que são percebidas assimetricamente, para justificar o conceito do equilíbrio de Nash. Um fato é de conhecimento comum se todos sabem o fato, todos sabem que todos sabem o fato, todos sabem que todos sabem que todos sabem o fato, e assim infinitamente. Se é de conhecimento comum que todos os jogadores são racionais, ou escolhem a melhor reação, então em condições apropriadas eles produzem um equilíbrio de Nash.
Por vários anos foi pensado que a existência de conhecimento comum da racionalidade para os jogadores no jogo era fundamental. Acontece que em um jogo com dois jogadores o conhecimento comum da racionalidade não é necessário como uma condição para estratégias que levem ao equilíbrio de Nash. Um exemplo é o dilema do prisioneiro, onde a pior estratégia para ambos conduz a um melhor resultado cooperativo, um equilíbrio de Nash.
Dilema do prisioneiro:
Dois suspeitos, A e B, são presos pela polícia. A polícia tem provas insuficientes para os condenar, mas, separando os prisioneiros, oferece a ambos o mesmo acordo: se um dos prisioneiros, confessando, testemunhar contra o outro e esse outro permanecer em silêncio, o que confessou sai livre enquanto o cúmplice silencioso cumpre 10 anos de sentença. Se ambos ficarem em silêncio, a polícia só pode condená-los a 6 meses de cadeia cada um. Se ambos traírem o comparsa, cada um leva 5 anos de cadeia. Cada prisioneiro faz a sua decisão sem saber que decisão o outro vai tomar, e nenhum tem certeza da decisão do outro. A questão que o dilema propõe é: o que vai acontecer? Como o prisioneiro vai reagir?
Existem alguns jogos divertidos que possuem equilíbrios de Nash que dependem do nível de recursão de "quem sabe de quem sabe o que". Os próximos problemas exploram este assunto.
O pai e os filhos:
Um pai honesto mas brincalhão disse a seus dois filhos responsáveis que ele colocou R$ 10, R$ 100, R$ 1.000 ou R$ 10.000, com igual probabilidade, em um envelope e dez vezes o tal dinheiro em outro envelope. Ele deu um envelope para cada filho. Um filho encontrou R$ 10.000 e o segundo R$ 1.000. O pai chamou cada um a parte e perguntou particularmente se ele gostaria de trocar. Cada um disse "sim". O pai relatou cada uma destas respostas para o outro irmão. Quantas vezes precisará o pai repetir este processo até que um dos filhos diga "não"?
As mulheres de Sevita:
Os Sevitãos vivem como famílias monogâmicas em um pequeno vilarejo onde literalmente todos sabem o que todos estão fazendo, literalmente em todo o tempo. A única assimetria informacional é que nenhuma esposa sabe se seu próprio marido é mulherengo, embora toda esposa saiba a conduta de todos os outros maridos no vilarejo. A punição para um marido mulherengo é ser marcado pela sua esposa com um M marrom na testa durante à noite enquanto dorme. Esta punição é somente imposta pela esposa que soube com convicção que seu marido é culpado.
Desnecessário anunciar, nenhum marido jamais foi marcado. Mas um dia uma mulher de outro vilarejo fez uma visita. Indo embora no dia seguinte, ela confidenciou para as mulheres de Sevita que agora há pelo menos um mulherengo no vilarejo. Nada aconteceu durante cinco dias. Mas na sexta noite um certo número de maridos foram marcados com o M marrom. Quantos maridos foram marcados? Quantos maridos mulherengos há neste lugar? Como pode isto acontecer, já que a mulher indo embora não disse para as mulheres de Sevita nada que elas já não saibam - que agora há pelo menos um mulherengo no meio delas?
O problema da Cor dos Olhos postado neste blog também é sobre este assunto (http://dan-scientia.blogspot.com/2009/08/problema-de-logica-cor-dos-olhos.html).
Por vários anos foi pensado que a existência de conhecimento comum da racionalidade para os jogadores no jogo era fundamental. Acontece que em um jogo com dois jogadores o conhecimento comum da racionalidade não é necessário como uma condição para estratégias que levem ao equilíbrio de Nash. Um exemplo é o dilema do prisioneiro, onde a pior estratégia para ambos conduz a um melhor resultado cooperativo, um equilíbrio de Nash.
Dilema do prisioneiro:
Dois suspeitos, A e B, são presos pela polícia. A polícia tem provas insuficientes para os condenar, mas, separando os prisioneiros, oferece a ambos o mesmo acordo: se um dos prisioneiros, confessando, testemunhar contra o outro e esse outro permanecer em silêncio, o que confessou sai livre enquanto o cúmplice silencioso cumpre 10 anos de sentença. Se ambos ficarem em silêncio, a polícia só pode condená-los a 6 meses de cadeia cada um. Se ambos traírem o comparsa, cada um leva 5 anos de cadeia. Cada prisioneiro faz a sua decisão sem saber que decisão o outro vai tomar, e nenhum tem certeza da decisão do outro. A questão que o dilema propõe é: o que vai acontecer? Como o prisioneiro vai reagir?
Existem alguns jogos divertidos que possuem equilíbrios de Nash que dependem do nível de recursão de "quem sabe de quem sabe o que". Os próximos problemas exploram este assunto.
O pai e os filhos:
Um pai honesto mas brincalhão disse a seus dois filhos responsáveis que ele colocou R$ 10, R$ 100, R$ 1.000 ou R$ 10.000, com igual probabilidade, em um envelope e dez vezes o tal dinheiro em outro envelope. Ele deu um envelope para cada filho. Um filho encontrou R$ 10.000 e o segundo R$ 1.000. O pai chamou cada um a parte e perguntou particularmente se ele gostaria de trocar. Cada um disse "sim". O pai relatou cada uma destas respostas para o outro irmão. Quantas vezes precisará o pai repetir este processo até que um dos filhos diga "não"?
As mulheres de Sevita:
Os Sevitãos vivem como famílias monogâmicas em um pequeno vilarejo onde literalmente todos sabem o que todos estão fazendo, literalmente em todo o tempo. A única assimetria informacional é que nenhuma esposa sabe se seu próprio marido é mulherengo, embora toda esposa saiba a conduta de todos os outros maridos no vilarejo. A punição para um marido mulherengo é ser marcado pela sua esposa com um M marrom na testa durante à noite enquanto dorme. Esta punição é somente imposta pela esposa que soube com convicção que seu marido é culpado.
Desnecessário anunciar, nenhum marido jamais foi marcado. Mas um dia uma mulher de outro vilarejo fez uma visita. Indo embora no dia seguinte, ela confidenciou para as mulheres de Sevita que agora há pelo menos um mulherengo no vilarejo. Nada aconteceu durante cinco dias. Mas na sexta noite um certo número de maridos foram marcados com o M marrom. Quantos maridos foram marcados? Quantos maridos mulherengos há neste lugar? Como pode isto acontecer, já que a mulher indo embora não disse para as mulheres de Sevita nada que elas já não saibam - que agora há pelo menos um mulherengo no meio delas?
O problema da Cor dos Olhos postado neste blog também é sobre este assunto (http://dan-scientia.blogspot.com/2009/08/problema-de-logica-cor-dos-olhos.html).
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