domingo, 25 de outubro de 2009

A centróide de um polígono

A centróide é o ponto no interior de uma figura geométrica que define o centro geométrico. Se a figura geométrica possui um corpo de densidade uniforme então a centróide coincide com o centro de massa e se a figura geométrica está submetida a um campo gravitacional então este ponto coincide com o centro de gravidade.

A centróide de um polígono fechado, não sobreposto e definido por n vértices, pode ser calculado utilizando uma fórmula que recebe as coordenadas dos vértices e sua área. Então antes de se calcular a centróide por esta fórmula é necessário calcular a área do polígono.

O cálculo para determinar a área de um polígono utiliza uma fórmula bastante simples. Considere um polígono feito com segmentos de reta entre n vértices (xi,yi), com i=0 até n-1. O último vértice (xn,yn) é assumido para ser o mesmo que o primeiro (x0,y0), isto é, o polígono está fechado.

A área é dada pela fórmula:


O sinal da área pode ser usado para determinar a ordem dos vértices do polígono. Se o sinal é positivo então os vértices estão ordenados no sentido contra o relógio, de outra forma, se o sinal é negativo então os vértices estão ordenados no sentido do relógio.

Para os cálculos das coordenadas da centróide utilizam-se as fórmulas abaixo:


Vejamos então um exemplo. Abaixo é apresentado um gráfico com um polígono e seus vértices estão nas coordenadas (1,3),(7,2),(10,0),(11,5),(8,7) e (3,6). Vamos calcular as coordenadas da centróide.


Aplicando a fórmula do cálculo da área temos:

A = ((1*2-7*3) + (7*0-10*2) + (10*5-11*0) + (11*7-8*5) + (8*6-3*7) + (3*3-1*6))/2 = 39

A coordenada x da centróide é o resultado da expressão abaixo:

Cx = ((1+7)*(1*2-7*3) + (7+10)*(7*0-10*2) + (10+11)*(10*5-11*0) + (11+8)*(11*7-8*5) + (8+3)*(8*6-3*7) + (3+1)*(3*3-1*6))/(6*39) = 6,7

E a coordenada y da centróide é o resultado da expressão abaixo:

Cy = ((3+2)*(1*2-7*3) + (2+0)*(7*0-10*2) + (0+5)*(10*5-11*0) + (5+7)*(11*7-8*5) + (7+6)*(8*6-3*7) + (6+3)*(3*3-1*6))/(6*39) = 4,0

Assim a centróide deste polígono está na coordenada x = 6,7 e y = 4, já mostrado no desenho do polígono acima.

4 comentários:

  1. resumido,mas muito bom.

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  2. E como calcula a centroide de um poliedro? ou caso tenha n dimensoes?

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  3. Excelente matéria. Me ajudou muito.

    Obrigado.

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