Adaptado de "O homem que calculava", capítulo XIX, de Malba Tahan.
Um navio que voltava de Serendibe, trazendo grande partida de especiarias, foi assaltado por violenta tempestade. A embarcação teria sido destruída pela fúria das ondas se não fosse a bravura e o esforço de três marinheiros que, no meio da tormenta, manejaram as velas com extrema perícia.
O comandante, querendo recompensar os denodados marujos, deu-lhes certo número de moedas. Esse número, superior a duzentos, não chegava a trezentos. As moedas foram colocadas numa caixa para que no dia seguinte, por ocasião do desembarque, o almoxarife as repartisse entre os três corajosos marinheiros.
Aconteceu, porém, que, durante a noite, um dos marinheiros acordou, lembrou-se das moedas e pensou: "Será melhor que eu tire a minha parte. Assim não terei ocasião de discutir ou brigar com os meus amigos". E, sem nada dizer aos companheiros, foi, pé ante pé, até onde se achava guardado o dinheiro, dividiu-o em três partes iguais, mas notou que a divisão não era exata e que sobrava uma moeda. "Por causa desta mísera moedinha é capaz de haver amanhã discussão e rixa. O melhor é jogá-la fora." E o marinheiro atirou a moeda ao mar, retirando-se cauteloso. Levava a sua parte e deixava no mesmo lugar a que cabia aos companheiros.
Horas depois o segundo marinheiro teve a mesma ideia. Foi à arca em que se depositara o prêmio coletivo e dividiu-o em três partes iguais. Sobrava uma moeda. Ao marujo, para evitar futuras dúvidas, veio à lembrança atirá-la ao mar. E dali voltou levando consigo a parte a que se julgava com direito.
O terceiro marinheiro, ignorando, por completo, a antecipação dos colegas, teve o mesmo alvitre. Levantou-se de madrugada e foi, pé ante pé, à caixa das moedas. Dividiu as moedas que lá encontrou em três partes iguais; a divisão não foi exata. Sobrou uma moeda. Não querendo complicar o caso, o marujo atirou ao mar a moedinha excedente, retirou a terça parte para si e voltou tranquilo para o seu leito.
No dia seguinte, na ocasião do desembarque, o almoxarife do navio encontrou um punhado de moedas na caixa. Soube que essas moedas pertenciam aos três marinheiros. Dividiu-as em três partes iguais, dando a cada um dos marujos uma dessas partes. Ainda dessa vez a divisão não foi exata. Sobrava uma moeda, que o almoxarife guardou como pagamento do seu trabalho e de sua habilidade. É claro que nenhum dos marinheiros reclamou, pois cada um deles estava convencido de que já havia retirado da caixa a parte que lhe cabia do dinheiro.
Pergunta-se, afinal: Quantas eram as moedas? Quanto recebeu cada um dos marujos?
RESPOSTA
Sejam:
M = total de moedas;
a = parte retirada pelo 1º marujo;
b = parte retirada pelo 2º marujo;
c = parte retirada pelo 3º marujo;
r = restante dividido pelo almoxarife.
Sabemos que o 1º marujo jogou uma moeda fora e dividiu M-1 por 3, logo a = (M-1)/3 ou M = 3a + 1. Ficaram duas partes de a na caixa, ou seja, 2a.
Sabemos que o 2º marujo jogou uma moeda fora e dividiu 2a-1 por 3, logo b = (2a-1)/3 ou 2a = 3b + 1. Ficaram duas partes de b na caixa, ou seja, 2b.
Seguindo este raciocínio, temos:
M = 3a + 1
2a = 3b + 1
2b = 3c + 1
2c = 3r + 1
Assim:
a=((3b + 1)/2)
b=((3c + 1)/2)
c=((3r + 1)/2)
Substituindo em M, o equivalente em a, depois em b e finalmente em c, obtemos:
M = 3a+1
M = 3((3b+1)/2)+1
M = 3((3((3c+1)/2)+1)/2)+1
M = 3((3((3((3r+1)/2)+1)/2)+1)/2)+1
Simplificando, chegamos em:
M = 3((3((((9r+3)/2)+1)/2)+1)/2)+1
M = 3((3(((9r+3+2)/2)/2)+1)/2)+1
M = 3((3((9r+5)/4)+1)/2)+1
M = 3((((27r+15)/4)+1)/2)+1
M = 3(((27r+15+4)/4)/2)+1
M = 3((27r+19)/8)+1
M = ((81r+57)/8)+1
M = (81r+57+8)/8
M = (81r+65)/8
Ou ainda:
M = (80r + r + 64 + 1)/8
M = 10r + r/8 + 8 + 1/8
M = 10r + 8 + (r+1)/8
A expressão mostra que r+1 deve ser múltiplo de 8, para resultar em número inteiro, ou seja, r+1 = 8k. Fazendo r = 8k-1 e substituindo na expressão, teremos:
M = 10(8k-1) + 8 + (8k-1+1)/8
M = 80k - 10 + 8 + k
M = 81k - 2
Na qual o parâmetro k pode receber um número natural qualquer: 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...
Os valores de M serão, respectivamente:
79, 160, 241, 322, 403, 484, ...
Como o enunciado afirma que o número de moedas é superior a 200 e que não chega a 300, o valor é 241 pois é o único que serve para o caso.
Então:
241 moedas;
1º marujo = 103; (80 + 23)
2º marujo = 76; (53 + 23)
3º marujo = 58; (35 + 23)
jogadas ao mar = 3;
almoxarife = 1.
Um navio que voltava de Serendibe, trazendo grande partida de especiarias, foi assaltado por violenta tempestade. A embarcação teria sido destruída pela fúria das ondas se não fosse a bravura e o esforço de três marinheiros que, no meio da tormenta, manejaram as velas com extrema perícia.
O comandante, querendo recompensar os denodados marujos, deu-lhes certo número de moedas. Esse número, superior a duzentos, não chegava a trezentos. As moedas foram colocadas numa caixa para que no dia seguinte, por ocasião do desembarque, o almoxarife as repartisse entre os três corajosos marinheiros.
Aconteceu, porém, que, durante a noite, um dos marinheiros acordou, lembrou-se das moedas e pensou: "Será melhor que eu tire a minha parte. Assim não terei ocasião de discutir ou brigar com os meus amigos". E, sem nada dizer aos companheiros, foi, pé ante pé, até onde se achava guardado o dinheiro, dividiu-o em três partes iguais, mas notou que a divisão não era exata e que sobrava uma moeda. "Por causa desta mísera moedinha é capaz de haver amanhã discussão e rixa. O melhor é jogá-la fora." E o marinheiro atirou a moeda ao mar, retirando-se cauteloso. Levava a sua parte e deixava no mesmo lugar a que cabia aos companheiros.
Horas depois o segundo marinheiro teve a mesma ideia. Foi à arca em que se depositara o prêmio coletivo e dividiu-o em três partes iguais. Sobrava uma moeda. Ao marujo, para evitar futuras dúvidas, veio à lembrança atirá-la ao mar. E dali voltou levando consigo a parte a que se julgava com direito.
O terceiro marinheiro, ignorando, por completo, a antecipação dos colegas, teve o mesmo alvitre. Levantou-se de madrugada e foi, pé ante pé, à caixa das moedas. Dividiu as moedas que lá encontrou em três partes iguais; a divisão não foi exata. Sobrou uma moeda. Não querendo complicar o caso, o marujo atirou ao mar a moedinha excedente, retirou a terça parte para si e voltou tranquilo para o seu leito.
No dia seguinte, na ocasião do desembarque, o almoxarife do navio encontrou um punhado de moedas na caixa. Soube que essas moedas pertenciam aos três marinheiros. Dividiu-as em três partes iguais, dando a cada um dos marujos uma dessas partes. Ainda dessa vez a divisão não foi exata. Sobrava uma moeda, que o almoxarife guardou como pagamento do seu trabalho e de sua habilidade. É claro que nenhum dos marinheiros reclamou, pois cada um deles estava convencido de que já havia retirado da caixa a parte que lhe cabia do dinheiro.
Pergunta-se, afinal: Quantas eram as moedas? Quanto recebeu cada um dos marujos?
RESPOSTA
Sejam:
M = total de moedas;
a = parte retirada pelo 1º marujo;
b = parte retirada pelo 2º marujo;
c = parte retirada pelo 3º marujo;
r = restante dividido pelo almoxarife.
Sabemos que o 1º marujo jogou uma moeda fora e dividiu M-1 por 3, logo a = (M-1)/3 ou M = 3a + 1. Ficaram duas partes de a na caixa, ou seja, 2a.
Sabemos que o 2º marujo jogou uma moeda fora e dividiu 2a-1 por 3, logo b = (2a-1)/3 ou 2a = 3b + 1. Ficaram duas partes de b na caixa, ou seja, 2b.
Seguindo este raciocínio, temos:
M = 3a + 1
2a = 3b + 1
2b = 3c + 1
2c = 3r + 1
Assim:
a=((3b + 1)/2)
b=((3c + 1)/2)
c=((3r + 1)/2)
Substituindo em M, o equivalente em a, depois em b e finalmente em c, obtemos:
M = 3a+1
M = 3((3b+1)/2)+1
M = 3((3((3c+1)/2)+1)/2)+1
M = 3((3((3((3r+1)/2)+1)/2)+1)/2)+1
Simplificando, chegamos em:
M = 3((3((((9r+3)/2)+1)/2)+1)/2)+1
M = 3((3(((9r+3+2)/2)/2)+1)/2)+1
M = 3((3((9r+5)/4)+1)/2)+1
M = 3((((27r+15)/4)+1)/2)+1
M = 3(((27r+15+4)/4)/2)+1
M = 3((27r+19)/8)+1
M = ((81r+57)/8)+1
M = (81r+57+8)/8
M = (81r+65)/8
Ou ainda:
M = (80r + r + 64 + 1)/8
M = 10r + r/8 + 8 + 1/8
M = 10r + 8 + (r+1)/8
A expressão mostra que r+1 deve ser múltiplo de 8, para resultar em número inteiro, ou seja, r+1 = 8k. Fazendo r = 8k-1 e substituindo na expressão, teremos:
M = 10(8k-1) + 8 + (8k-1+1)/8
M = 80k - 10 + 8 + k
M = 81k - 2
Na qual o parâmetro k pode receber um número natural qualquer: 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...
Os valores de M serão, respectivamente:
79, 160, 241, 322, 403, 484, ...
Como o enunciado afirma que o número de moedas é superior a 200 e que não chega a 300, o valor é 241 pois é o único que serve para o caso.
Então:
241 moedas;
1º marujo = 103; (80 + 23)
2º marujo = 76; (53 + 23)
3º marujo = 58; (35 + 23)
jogadas ao mar = 3;
almoxarife = 1.
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