segunda-feira, 12 de dezembro de 2011

O Pôquer e suas combinações e probabilidades

O Pôquer é um jogo onde para vencer é preciso ter a combinação de cartas com menor probabilidade de ocorrência, tornando a combinação mais valiosa. A regra do Pôquer determina algumas combinações de cartas que são denominadas "mãos". São elas, em ordem decrescente de valor: sequência de naipe real, sequência de naipe, quadra, trinca e par, mesmo naipe, sequência, trinca, dois pares e um par. As mãos mais valiosas são mais difíceis de aparecer em um jogo de Pôquer.

Um baralho de Pôquer tem 52 cartas, 13 de cada naipe, do 2 ao Ás. Cada mão utiliza 5 cartas e em um arranjo simples, o número de maneiras diferentes que pode-se pegar 5 cartas de 52 é A(n,p) = n!/(n-p)! = 52!/(52-5)! = 311.875.200. Ou pela regra do produto, do princípio fundamental da contagem, este número é dado por n * (n-1) * (n-2) * ... * (n-p+1) = 52 * 51 * 50 * 49 * 48 = 311.875.200.

Mas, no arranjo simples, calcula-se os agrupamentos ordenados de 5 cartas distintas, que se podem formar com as 52 cartas do jogo, ou seja, a ordem das cartas modifica o grupo. E para um jogo de Pôquer não importa a ordem na qual um jogador recebe as cartas. Trata-se da ordem na qual as cartas são retiradas do maço e não da ordem para a mão, na composição de uma sequência por exemplo, pois para obter uma sequência não precisa retirar as 5 cartas já na ordem da sequência.

Assim, utiliza-se o cálculo de combinação simples para determinar o número de maneiras diferentes que se pode pegar 5 cartas de 52. Onde C(n,p) = n!/(p!(n-p)!) = 52!/(5!(52-5)!) = 2.598.960.

Como existem P(5) = 5*4*3*2*1 = 120 modos diferentes de arranjar as 5 cartas, então deve-se reduzir em 120 vezes o número do arranjo simples, dividindo o cálculo prévio por 120 para obter (52*51*50*49*48) / (5*4*3*2*1) = 311.875.200 / 120 = 2.598.960.

C(n,p) = A(n,p)/P(p) = (n!/(n-p)!)/p! = n!/(p!(n-p)!) = 2.598.960, estas são as diferentes maneiras que pode-se pegar 5 cartas de 52, pois a ordem não importa. Muitas delas serão mãos valiosas, algumas mais fáceis de se obter, outras nem tanto.

Além deste número total de combinações, de 5 cartas em 52, pode-se calcular quantas combinações existem para cada mão do Pôquer, isto é, em quantas mãos diferentes são possíveis formar uma sequência, ou uma quadra, ou uma trinca etc.

Começando pela mão mais valiosa, a sequência de naipe real é formada pelas cartas de valor 10 ao Ás, todas do mesmo naipe. Como no baralho há 4 naipes então só existem 4 sequências de naipe reais possíveis.

A sequência de naipe pode ser determinada pelo valor da menor carta e esta menor carta deve ser menor que 10. Assim, existem 9 cartas por naipe adequadas para ser a menor carta da sequência, do Ás ao 9, totalizando 36 cartas. Desta forma, tem-se 36 sequências de naipe possíveis.

Para formar uma quadra, existem 13 valores disponíveis e 48 cartas disponíveis para ser a quinta carta da mão. Existem 13 * 48 = 624 quadras possíveis.

Para formar uma trinca e um par, existem 13 valores para a trinca e 12 valores para o par. Dentre as cartas de mesmo valor há 4 formas de montar uma trinca e 6 formas de montar um par, com os 4 naipes diferentes. Existem 13 * 12 * 4 * 6 = 3744 trincas e pares possíveis.

Para formar 5 cartas do mesmo naipe, temos por naipe C(13,5) = 13!/(5!(13-5)!) = 1287 combinações possíveis. Porém 10 delas também são sequências de naipe então devem ficar de fora, 1287 - 10 = 1277. São 4 naipes, portanto, existem 1277 * 4 = 5108 combinações possíveis de 5 cartas do mesmo naipe.

Para formar uma sequência com naipes distintos, 40 cartas são adequadas para ser a mais baixa da sequência. A partir desta, há 4 possibilidades para cada uma das 4 cartas restantes. Excluindo as sequências de naipe, real ou não, existem 40 * 4 * 4 * 4 * 4 - 40 = 10.200 sequências possíveis.

Para uma trinca, existem 13 valores em cada naipe para a trinca e C(12,2) * 4 naipes = 12!/(2!(12-2)!) * 4 = 66 * 4 = 264 combinações para as 2 cartas restantes. Há 4 formas de montar uma trinca com cartas do mesmo valor, então, existem 13 * 4 * 264 * 4 = 54.912 trincas possíveis.

Para formar dois pares, há C(13,2) = 13!/(2!(13-2)!) = 78 conjuntos de dois valores dos pares e 6 formas de montar cada par, além de 11 * 4 = 44 cartas para compor a quinta carta. Existem 78 * 6 * 6 * 44 = 123.552 possibilidades de formar dois pares.

E para formar um par, existem 13 valores em cada naipe para o par e 6 formas de montar um par com cartas do mesmo valor. Há ainda C(12,3) * 4 naipes = 12!/(3!(12-3)!) * 4 = 880 combinações para as outras três cartas e 4 formas de montar estas três cartas restantes. Existem 13 * 4 * 6 * 880 * 4 = 1.098.240 pares possíveis.

Estas foram as combinações das mãos com algum valor, mas é possível também ter uma mão ausente de valor, que são as combinações restantes até o total.

Em uma mão que não contenha alguma das combinações valiosas, ou seja, uma mão com nada, onde no jogo, considera-se apenas o valor da carta mais alta, temos C(13,5) = 13!/(5!(13-5)!) = 1287 possibilidades de 5 cartas em 13. Contudo 10 possibilidades formam uma sequência e desconsiderando-as, ficam 1277. Cada uma das cinco cartas pode ser de um dos quatro naipes, 4 * 4 * 4 * 4 * 4 = 1024, entretanto elas todas não podem ser do mesmo naipe, isto são 4 possibilidades para desconsiderar, uma pra cada naipe, 1024 - 4. Assim, existem 1277 * (1024 - 4) = 1.302.540 combinações sem valor.

Outra forma de calcular é somando todas as combinações das mãos valiosas e subtrair este valor do número total de combinações, pois 2.598.960 - (4 + 36 + 624 + 3744 + 5108 + 10.200 + 54.912 + 123.552 + 1.098.240) = 1.302.540.

Tendo o valor que representa todo o universo de combinações de 5 cartas em 52 e a quantidade de combinações para cada mão, é possível calcular a probabilidade de uma mão aparecer durante um jogo de Pôquer. Uma combinação de uma mão valiosa dividida pelo total resulta na probabilidade de ocorrer a respectiva mão.

A tabela abaixo ilustra as probabilidades para cada mão do Pôquer:

Mão                  Combinações    Probabilidade

Sequência Real                 4    0,000001539
Sequência de Naipe            36    0,000013852
Quadra                       624    0,000240096
Trinca e Par               3.744    0,001440576
Naipe                      5.108    0,001965402
Sequência                 10.200    0,003924647
Trinca                    54.912    0,021128451
Dois Pares               123.552    0,047539016
Um Par                 1.098.240    0,422569028
Nada                   1.302.540    0,501177394

Pela tabela acima percebe-se que as chances de uma mão vir com nada são de aproximadamente 50%. A menor probabilidade proporciona o maior valor para a mão. Por isso que a sequência de naipe real é a mão mais valiosa, sua probabilidade é extremamente baixa. Para se ter uma ideia, a probabilidade de acertar os seis números da Mega-Sena é 0,000000020, apenas 77 vezes menor que a probabilidade da sequência de naipe real.


Saiba mais sobre análise combinatória (http://dan-scientia.blogspot.com/2009/12/analise-combinatoria.html) e probabilidade (http://dan-scientia.blogspot.com/2010/01/probabilidades.html).

9 comentários:

  1. Oi!

    Vi um jogador que disse que na mesma semana conseguiu duas seqüencias reais. Por muito que ele jogasse, lhe parece possível???

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  2. Olá!

    Possível é, só é bem difícil pois para conseguir uma a probabilidade já é "micro-míseros" 0,00015 %.

    Entretanto, em um jogo é possível a troca ou a escolha de cartas. Se puder trocar três, já serão oito cartas para tentar formar um jogo. Assim a probabilidade melhora um pouquinho.

    De blefe ele deve ser bom! rs

    Obrigado pela visita ao blog.

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  3. Parabéns sua explicação ficou excelente e me ajudou muito.

    Abraços,

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  4. Estas probabilidades são calculadas dentro das 5 cartas(2 na mão mais flop) ou dentro das 7 cartas?
    Bjs

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    1. As probabilidades são para 5 cartas simplesmente, sem troca. Nas diversas regras de jogos de pôquer o cálculo da probabilidade é outro.
      Obrigado pela visita.

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  5. Muito bom esse artigo. Estou desenvolvendo um software de conclusão de curso envolvendo probabilidades em Texas Hold'em. Esse artigo me esclareceu mta coisa. Se tiver algo mais para auxiliar eu agradeço hahahhahaha

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  6. Não compreendi duas coisas. Lí, e após isso, como vestibulando e viciado em poker, e que me diria não tão ruim em matematica também, estranhei e "travei". Toda essa explicação faz muito sentido para mim, aliás, eu cheguei aqui porque estava calculando essa possibilidades no wikipedia mas não consegui mais quando cheguei no flush (do maior para o menor). Lendo esse post, entendi os outros cálculos, entretanto, quando me deparei com o par eu não consegui entender. Aquele teu comentário ali de cima também ( você disse que se trocar três cartas serão oito possibilidades de jogo; Mas, eu gostaria de saber, não são só mais duas cartas ???? o turn e o river, e como o outro disse ali SETE cartas ??? E se fossem tres cartas trocadas não seriam 8 tomados 5 a 5 sem importância de ordem, no caso C(8,5)=56 possibilidades em cima do total ?)

    Mas sobre o par... "existem 13 valores em cada naipe para o par e 6 formas de montar um par com cartas do mesmo valor."
    que eu entenda:

    EXISTEM 13 VALORES. Cada um deles deveram ser "pegos" e esses valores tem 6 diferentes pares no caso:
    AS de paus e copas, paus e ouro, paus e espadilha, copas e ouro, copas e espadilha, ouro e espadilha. 6 opções para cada um dos 13 valores. C(4,3)=6*13=78

    em seguida "880 combinações para as outras três cartas e 4 formas de montar estas três cartas restantes."
    O que seria essas "4 formas de montar estas três cartas restantes." ?
    Concordei com a conta e não com a explicação.
    Se me permite, com a tua licença, e se estiver errado me desculpe, diria que:
    Dos 13 valores 6 opções de pares ... então 13*6=78; E dos 12 valores restantes tomaremos 3 a 3 quaisquer para que não faça quadra, ou trinca etc. C(12,3) =220, entretanto cada uma dessas tres cartas tem 4 naipes, então 220*4*4*4, não se preocupando e fazer um flush, ja que no par ao menos uma carta de naipe diferente haverá.
    Então: 78*220*4*4*4 = 1.098.240

    Mas também, pode minha explicação estar errada e a tua certa e eu não ter entendido.

    Joel Junior, 17 anos, Pré-vestibular de férias esperando começar o ano letivo para mais um ano batalhando pela vaga, 1 mês de licenciatura em matemática e só. :(

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  7. EU E MINHA MULHER, PARA PASSAR TEMPO, JOGAMOS POKER MANO-A-MANO.
    HOJE, ELA FEZ 5 SEQUÊNCIAS SEGUIDAS ATÉ DAMA. NO MEU ENTENDER FOI UM ABSURDO. QUAL A PROBABILIDADE DE ISSO ACONTECER? JOGAMOS DE 8 AO ÁS.

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