sábado, 29 de agosto de 2009

Problemas de lógica resolvidos com equações do 1º grau

Muitos dos problemas de lógica onde o enunciado apresenta relações entre valores numéricos podem ser resolvidos com o uso de equações do primeiro grau, ou equações lineares. Uma equação é toda sentença matemática aberta representada por uma igualdade, em que exista uma ou mais letras que representam números desconhecidos.

Se o problema é apresentado em uma sentença com palavras, para resolver devemos transformá-lo em uma sentença que esteja escrita em linguagem matemática, uma equação. Esta é a parte mais importante e talvez seja a mais difícil na resolução do problema.

Normalmente aparecem letras conhecidas como variáveis ou incógnitas. Então para resolver estas equações do primeiro grau, basta colocar as incógnitas de um lado do sinal de igualdade e os números do outro.

Veja alguns problemas resolvidos:

1) Um número mais a sua metade é igual a 150. Qual é esse número?

Solução:

n + n/2 = 150
(2n + n)/2 = 150
2n + n = 150 * 2
3n = 300
n = 300/3
n = 100

Resposta: Esse número é 100.

2) A diferença entre um número e sua quinta parte é igual a 36. Qual é esse número?

Solução:

x - x/5 = 36
(5x - x)/5 = 36
4x/5 = 36
4x = 36 * 5
4x = 180
x = 180/4
x = 45

Resposta: Esse número é 45.

3) O triplo de um número é igual a sua metade mais 20. Qual é esse número?

Solução:

3m = m/2 + 20
6m/2 = (m + 40)/2
6m = m + 40
6m - m = 40
5m = 40
m = 40/5
m = 8

Resposta: Esse número é 8.

4) O triplo de um número, mais 5, é igual a 254. Qual é esse número?

Solução:

3p + 5 = 254
3p = 254 - 5
3p = 249
p = 249/3
p = 83

Resposta: Esse número é 83.

5) O quádruplo de um número, diminuído de três, é igual a 99. Qual é esse número ?

Solução:

4n - 3 = 99
4n = 99 + 3
4n = 102
n = 102/4
n = 25,5

Resposta: Esse número é 25,5.

6) Júlio tem 15 anos e Eva tem 17 anos. Daqui a quantos anos a soma de suas idades será 72 anos?

Solução:

(15 + a) + (17 + a) = 72
32 + 2a = 72
2a = 72 - 32
2a = 40
a = 40/2
a = 20

Resposta: Será daqui a 20 anos.

7) Num pátio há bicicletas e carros num total de 20 veículos e 56 rodas. Determine o número de bicicletas e de carros.

Solução:

(b * 2) + (c * 4) = 56
b + c = 20

b = 20 - c
((20 - c) * 2) + 4c = 56
40 - 2c + 4c = 56
2c = 56 - 40
2c = 16
c = 16 / 2
c = 8
b = 20 - 8
b = 12

Resposta: Existem 12 bicicletas e 8 carros.

8) A metade dos objetos de uma caixa mais a terça parte desses objetos é igual a 75. Quantos objetos há na caixa?

Solução:

n/2 + n/3 = 75
(3n + 2n)/6 = 75
5n = 75 * 6
5n = 450
n = 450/5
n = 90

Resposta: Existem 90 objetos na caixa.

9) Em uma fábrica, um terço dos empregados são estrangeiros e 90 empregados são brasileiros. Quantos são os empregados da fábrica?

Solução:

2 * (e/3) = 90
2e = 90 * 3
2e = 270
e = 270/2
e = 135

outro exemplo,

2 * (e/3) = 90
e/3 = 90/2
e/3 = 45
e = 45 * 3
e = 135

Resposta: A fábrica possui 135 empregados.

10) Numa caixa, o número de bolas pretas é o triplo de bolas brancas. Se tirarmos 4 brancas e 24 pretas, o número de bolas de cada cor ficará igual. Qual a quantidade de bolas brancas?

Solução:

p = 3b
b - 4 = p - 24
b - 4 = 3b - 24
3b - b = 24 - 4
2b = 20
b = 20/2
b = 10

Resposta: 10 bolas brancas.

11) Como devo distribuir R$ 438,00 entre três pessoas, de modo que as duas primeiras recebam quantias iguais e a terceira receba o dobro do que receber as duas primeiras juntas?

Solucão:

p + p + 2*(p + p) = 438
2p + 2p + 2p = 438
6p = 438
p = 438/6
p = 73

Resposta: R$ 73,00 para cada uma das duas primeiras e R$ 292,00 para a terceira pessoa.

12) Ao triplo de um número foi adicionado 40. O resultado é igual ao quíntuplo do número. Qual é esse número?

Solução:

3n + 40 = 5n
5n - 3n = 40
2n = 40
n = 40/2
n = 20

Resposta: Esse número é 20.

13) Existem três números inteiros consecutivos com soma igual a 393. Que números são esses?

Solução:

x + (x + 1) + (x + 2) = 393
3x + 3 = 393
3x = 390
x = 130

Resposta: Os números procurados são: 130, 131 e 132.

14) A soma das idades de André e Carlos é 22 anos. Descubra as idades de cada um deles, sabendo-se que André é 4 anos mais novo do que Carlos.

Solução:

c + a = 22
c + (c - 4) = 22
2c - 4 = 22
2c - 4 + 4 = 22 + 4
2c = 26
c = 13

Resposta: Carlos tem 13 anos e André tem 9 anos.

62 comentários:

  1. pode resolver esta?
    No orfanato Luz da Vida,há 200 crianças,95 tomaram a vacinaA,15 tomaram as vacinas A e B e 65 não tomaram vacina.Qual a probabilidade de uma criança ter tomado somente a vacina B?

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  2. Opa! Por este seu enunciado vejo que é uma questão de probabilidade. Bom, é pedido sobre a vacina B e é justo o valor de B que não é citado. Mas é simples calcular, todos os grupos se somados devem ter o total de 200 então: 200 = A + B + AB + N = 95 + B + 15 + 65. Assim, B = 25. Como Probabilidade = número de casos favoráveis / número de casos possíveis, desta forma, P = 25/200. A probabilidade é 1/8.

    Veja mais sobre probabilidades nesta outra postagem http://dan-scientia.blogspot.com/2010/01/probabilidades.html

    Um abraço.

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    1. Pense bem, pois esse problema localiza-s em conjuntos, e retificando a fórmula que vocÊ passou, fica:
      N° total de alunos = vac. A + vac. B - vac. A e B + não tomaram vacina
      200 = 95 - 15 + x + 65
      x - os que tomaram a vacina B
      Fica-se:
      200 = 160 -15 + x
      x = 200 - 145
      x = 55
      Como 15 tomaram as duas vacinas, 55 - 15 = 40. 40 foram os que tomaram apenas a vacina B.
      40/200 - 1/5 = 20%

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    2. Correto também nesta interpretação do enunciado. Eu acabei interpretando como "95 tomaram (somente) a vacina A", semelhante como foi citado com a vacina B.

      Obrigado pela colaboração!

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  3. Guilherme tem 15 anos e Gutavo tem 12.Daqui a quantos anos a soma de suas ideias será 61 anos?
    vc pode resolver por favor? parabéns pelo blog!

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  4. Olá. Este problema é parecido com o problema número 6 deste artigo, veja a solução:

    (15 + a) + (12 + a) = 61
    27 + 2a = 61
    2a = 61 - 27
    2a = 34
    a = 34/2
    a = 17 anos

    Agradeço sua visita!

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  5. OBRIGADA! VALEU FOI MUITO IMPORTANTE!
    SUCESSO SEMPRE!

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  6. Como resolveria essa?
    3) Em uma cidade, 35% da população é constituída de homens e 40% de mulheres. Qual a população da cidade, se o
    número de crianças é de 8000?

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  7. Olá Gisele,

    Pelo enunciado do problema, as crianças constituem 25% da população (100 - 35 - 40). Se 8000 são 25% e toda a população são 100%:

    25/100 = 8000/p
    25 x p = 8000 x 100
    p = 800000/25
    p = 32000

    A população da cidade é de 32 mil habitantes.

    Veja mais sobre percentagem aqui: http://dan-scientia.blogspot.com/2010/05/uma-razao-chamada-percentagem.html
    E sobre razão e proporção aqui: http://dan-scientia.blogspot.com/2009/10/grandeza-razao-e-proporcao.html
    Obrigado pela visita!

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  8. Amei esse site. Muito obrigada, ajudou muito!!

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  9. A viagem do Rio para Niteroi é feita em 33 minutos por uma barca e em 15 minutos por uma lancha.
    A lancha partiu as 12:05Hs e a lancha partiu as 11:53Hs. Então, a que horas
    a lancha alcançará a barca? alguem me ajuda ai? por favor...

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    1. Você errou na escrita, assim fica difícil responder.

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  10. cara como eu faço pra aprender a resolver problemas e conseguir gostar da matemática, n tenho mt dificuldades nas outras mas em matemática é um bicho de sete cabeças tem como me ajudar ?

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    1. Tente perceber a parte prática da matemática. Em onde no seu dia a dia você usa cálculo etc. E então aprimore sua habilidade matemática para estas tarefas. Mesmo que seja um simples contar dinheiro, somar ou dividir parcelas. Depois, com a matéria passada pelo seu professor, tente também associar a algum uso prático daquilo. Quase tudo nessa vida usa matemática. Fica chato mesmo quando a gente se pergunta "pra que aprender isso?". Boa sorte!

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  11. um fazendeiro colheu milho,feijão e café, num total de 14400 sacas, sendo que a quantidade de sacas de café foi o quadruplo da qtde de sacas de feijão. Se tivesse colhido mais de 2400 sacas de feijão, o total dessas sacas atingiria o total de sacas de milho. Calcule o total de sacas de café?

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    1. Milho + Feijão + Café = 14400
      Café = 4 * Feijão
      Milho = Feijão + 2400

      (Feijão + 2400) + Feijão + (4 * Feijão) = 14400
      Feijão + Feijão + 4 * Feijão = 14400 - 2400
      6 * Feijão = 12000
      Feijão = 2000

      Café = 4 * 2000
      Café = 8000

      Legal este problema, obrigado pela visita.

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  12. Olá,seu site é muito bom.Gostei!Porém percebi nas resoluções ao invés de fazer parte por parte,você fez as contas diretas,acredito que isso confunda algumas pessoas(Me confundiu!)Por tanto estou pedindo que nas proximas resoluções tente explicar o maximo para que podemos entender melhor.
    Gostaria de que você resolvesse essa questão:
    "A professora Julia reservou 10 folhas de papel sulfite para cada aluno.Como naquele dia faltaram 5 alunos,foi possivel dar 12 folhas para cada um dos que compareceram.Qual é o número de papel sulfite distribuido pela professora?"

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    1. Olá! Agradeço o seu pedido, vou me esforçar para melhorar.

      a = numero de alunos;

      10a = 12(a-5)
      10a = 12a - 60
      12a - 10a = 60
      2a = 60
      a = 30

      Como existem 30 alunos então são 300 folhas de sulfite, pela reserva de 10 folhas por aluno.

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    2. Professor, ficarei grato se me ajudar com esse.

      Os estudantes de uma classe organizaram sua festa de final de ano, devendo cada um contribuir com R$ 135,00 para as despesas. Como 7 alunos deixaram a escola antes da arrecadação e as despesas permaneceram as mesmas, cada um dos estudantes restantes teria de
      pagar R$ 27,00 a mais. No entanto, o diretor, para ajudar, colaborou com R$ 630,00. Quanto pagou cada aluno participante da festa?

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    3. Olá Michael, legal este problema. Eu vi duas formas de resolver, veja qual acha mais fácil de entender:

      1ª)

      r = alunos restantes

      27r = 7*135
      27r = 945
      r = 945/27
      r = 35

      Cada aluno pagou = (35*(135+27)-630)/35 = 144 reais


      2ª)

      a = número de alunos

      135a = (135+27)(a-7)
      135a = 162(a-7)
      135a = 162a - 1134
      162a - 135a = 1134
      27a = 1134
      a = 1134/27
      a = 42

      42-7 = alunos restantes

      Despesa = 42 * 135 = 5670 reais

      Cada aluno pagou = (5670-630)/42-7 = 144 reais


      Obrigado pela visita neste blog!

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  13. Daniel, por favor me ajude para poder ajudar a minha filha.
    Igor e Adriana tem, respectivamente, 8 e 40 anos. Daqui a quantos anos a idede de Adriano será o triplo da idade de Igor?

    Tem mais um: Daqui a cinco anos a idade de um pai será 3 vezes a idade do filho. Hoje a soma das idades é igual a 46 anos. Qual a idede atual de cada um?

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    1. Olá, seguem as soluções:

      1º)

      I = 8 e A = 40

      A + n = 3(I + n)
      40 + n = 3(8 + n)
      40 + n = 24 + 3n
      3n - n = 40 - 24
      2n = 16
      n = 8

      2º)

      P + F = 46
      F = 46 - P

      P + 5 = 3(F + 5)
      P + 5 = 3(46 - P + 5)
      P + 5 = 138 - 3P + 15
      P + 3P = 138 + 15 - 5
      4P = 148
      P = 37

      F = 46 - 37
      F = 9

      Certo?
      Obrigado pela visita.

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  14. Olá, Necessito de ajuda!

    Preciso solucionar essa questão de matemática.

    Uma atacadista vende café do Brasil a R$ 13,00kg e café da República Dominicana a R$ 16,00kg. Quantos kg de café brasileiro devem ser misturado a café dominicano de modo a se obter 90kg de uma mistura com preço de R$14,00kg?

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    1. Olá!

      Dá pra resolver por sistema de equações:

      Se são 90kg de uma mistura que custa R$14/kg então o preço total é R$ 1260, sendo assim:

      x = quantidade de café brasileiro em kg.
      y = quantidade de café dominicano em kg.

      x + y = 90
      13x + 16y = 1260

      1ª linha multiplica por -13:

      -13x - 13y = -1170
      13x + 16y = 1260
      ------------------
      3y = 90
      y = 30

      Se x + y = 90:

      x + 30 = 90
      x = 60

      Resultado:

      60kg de café brasileiro e 30kg de café dominicano.

      60 x 13 = 780
      30 x 16 = 480
      -----
      1260

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  15. EXCELENTE A MANEIRA DE EXPLICVAR! FICA BEM MAIS FÁCIL DE ENTENDER! PARABÉNS!

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  16. alguem pode me ajudar, por favor?

    o dobro de um numero excede a sua metade de 21. calcule o numero?

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  17. Olá, muito grato pela solução do problema.
    Esses cafés brasileiro e dominicano me deram uma baita dor de cabeça.

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  18. Parabéns gostei muito do blog, me ajudou bastante.

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  19. Muito muito muito bom mesmo desse blog... parabéns!

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  20. Olá, me ajude com este problema???
    Iara desejar distribuir 65 laranjas em 3 cxs da seguinte forma: a 1ª conterá 6 vezes o nº de laranjas da 3ª cxa mais 3 laranjas e a 2ª cxa, conterá 2 laranjas a menos do que na 3ª cxa.
    qual o nº de laranjas na 3ª cxa:
    qual o nº de laranjas na 1ª cxa:
    qual o nº de laranjas na 2ª cxa:
    Gostaria que me respondesse logo, pois valerá como provinha na escola.
    Grata

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    1. Olá Sueli,

      1ª caixa = a = 6c + 3
      2ª caixa = b = c - 2
      3ª caixa = c

      a + b + c = 65
      6c + 3 + c - 2 + c = 65
      8c + 1 = 65
      8c = 64
      c = 8

      a = 6 * 8 + 3 = 51
      b = 8 - 2 = 6

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  21. Professor, preciso de ajuda, por favor...


    1) tres numeros inteiros consecutivos e os 2/3 do menos tem o mesmo valor do que a metade do maior. quais esses tres numeros ?

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    1. Lá vai a ajuda:

      Os três números:

      n
      n + 1
      n + 2

      (2/3) x n = (1/2) x (n+2)
      2n / 3 = (n+2) / 2
      2 x 2n = 3 x (n+2)
      4n = 3n + 6
      4n - 3n = 6
      n = 6

      Portanto os números são 6, 7 e 8. Dois terços de 6 é 4, que é igual a metade de 8.

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  22. Quero agradecer pelo seu blog, sou mãe e estou sempre procurando exercicios de matematica para minha filha e encontrei aqui.

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  23. olá professor!

    Você pode resolver essa questão?

    2x+4/x²-4 :x/x²-4x+4

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  24. Professor me ajude, por favor...

    Numa familia há 5 pessoas sucedendo-se com 5 anos de intervalo. calcule a soma das suas idades, sabendo o primogenito tem o dobro da idade do mais novo.

    De uma cidade parte um onibus com velocidade de 50 km/h. depois de 2 horas parte um carro, no mesmo sentido, com uma velocidade de 70 km/h. calcule em quantas horas o carro alcançará o onibus.

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  25. Boa tarde professor, me ajude nesta

    A soma da idade que eu tenho hoje, com o triplo da idade que eu tinha a 4 anos, é igual ao dobro da idade que eu terei daqui a 2 anos. Qual é minha idade atual?

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    1. Olá,

      (idade hoje) = x

      x + 3(x-4) = 2(x+2)
      x + 3x - 12 = 2x + 4
      4x - 2x = 4 + 12
      2x = 16
      x = 8

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  26. Adorei pude passar as questões para meu filho resolver.
    Obrigada

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  27. Boa tarde professor, se possível me responda mais uma
    A soma das idades de 4 irmãos é de 52 anos. O caçula é 2 anos mais novo que o 3º filho. O 3ºfilho é 3 anos mais novo que o 2º. O mais velho tem 4 anos a mais do que o 2º.
    A idade o primeiro filho é?

    Grato desde já

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  28. preciso de ajuda nesse;Um numero tal que sua metade menos sua quinta parte é -6.
    Preciso muito dessa ajuda ainda hoje!!!!

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    1. Sei que já faz tempo, mais ai vai:

      x/2 - x/5 = -6
      (x/2 *5) -(x/5 *2) = -(6 *10)
      5x - 2x = -60
      x = -60 /3
      x = - 20

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  29. feliz natal e um ano de 2013 repleto de muitas relizaçoes para você professor., resolva este por favor;
    O n° 38 é dividido em duas parcelas. A maior parcela dividida pela menor da quociente 4 e resto 3. determine o prduto dessas partes.

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  30. Ola, vou prestar um concurso e não sei por onde começar.
    Resolvi relembrar equação de 1° grau, mas os livros que tenho em casa não estão me ajudando.
    Por favor se puder me ajude com este.
    3x/4 + 3 = 5/3 + x/6.
    No livro mostra a resolução, mas eu não entendi nada.

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    1. Só uma pergunta.... qual é o resultado dessa questão( 3x/4 + 3 = 5/3 + x/6) no seu livro???

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  31. Adorei o blog, mas como estamos em 2013, gostaria de saber se vc continuará nos prestigiando com suas explicações. Obrigada.

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    1. Olá Fabíola,

      O blog continua. Aqui neste artigo, sempre que eu tiver um tempinho tentarei ajudar nas resoluções. Como pode acontecer alguns momentos de falta de tempo, quem quiser colaborar será bem vindo.

      Obrigado pela visita neste blog!

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  32. Muito bom, gostei das explicações!

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  33. Olá Daniel tudo bem ? Você poderia resolver essa questão pra mim por favor ?

    A idade de Guilherme adicionada a sua metade resulta em 27. O irmão de Guilherme, Marcelo, tem metade de sua idade. Quantos anos tem Marcelo ?

    Obrigada !

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    Respostas
    1. Esses professores de matemática não tem muita criatividade para elaborar problemas eheheh.

      x + x/2 = 27

      3x/2 = 27

      x/2 = 9

      x = 18

      Guilherme 18 anos
      Marcelo 9 anos

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  34. daniel me ajude a resolver este problema:Para igualar o comprimento de dois tubos de PVC, um encanador teve de serrar 1,20
    cm de um deles e colar no outro. Inicialmente, o comprimento do tubo maior era a
    mais

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  35. boa tarde o senhor pode resolver esse poblam pra mim o dobrlo de um numero exece a sua metade de 21 .calcule

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  36. eu queria mais questoes com fraçoes muito boas para min passar na prova

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  37. RESOLVA POR FAVOR:
    Em um concurso, cada participante deve responder a 20 perguntas. Para cada resposta correta, ele ganha 3 pontos e, para cada resposta errada, ele perde 2 pontos. Quantos acertos e quantos erros teve um participante que obteve 35 pontos no final?

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  38. Oi preciso de ajuda...
    Descubra quais são os dois números em que o dobro do maior comado com o triplo do menor dá 16, e o maior deles somado com o quíntuplo do menor dá um. Sendo o maior: x e o menor: y

    Escolha uma:
    a. Os números são 12 e -4
    b. Os números são 11 e -2
    c. Os números são 10 e 3.
    d. Os números são 15 e 3
    e. Os números são 10 e -1

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  39. A média aritmética das notas da classe é 7.5. Sabe-se que a média aritmética das mulheres é 8 e a dos homens é 6. Se o nunes de mulheres excede o de homens em 8, quantas pessoas tem na classe?

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  40. daniel me ajuda nessa questão po favor, to precisando muito.
    Um pai tem 50 anos e seu filho 22. Ha quantos anos a idade do pai era o quintuplo da idade do filho?

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  41. Oi! Por favor me ajuda a resolver esta operação de 1° Grau: A soma da metade de um número com 21 é igual ao dobro do mesmo número menos 9. Determine esse número. Obrigada!

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  42. Querido professor, pode me ajudar com este problema ?
    Uma casa com 71 m² de área construída possui 03 quartos de mesmo tamanho. Qual é a área de cada quarto se as outras dependências da casa ocupam 71 m².

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  43. Bom dia, Gostei muito do blog,
    Estou com algumas questões com meu filho que estou batendo cabeça, poderia pelo menos montar?
    Resumindo a questão é a seguinda,
    a companhia de iluminação A cobra um valor fixo de 15,00 mais 0,60 por unidade de energia consumida, e a companhia B cobra 10,00 fixo e mais 0,80 por unidade de energia consumida. quantas unidades deverão ser consumidas para que as duas companhias cobrem o mesmo valor, eu comecei fazendo tipo um sistema, 15,00 + 0,60x e depois 10,00 + 0,80 y, só que dai não consigo mais resolver. :(. Ficaria muito Grata com a ajuda.

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