Conheça a cripto-aritmética

Cripto-aritmética é um quebra-cabeça matemático, onde os dígitos são substituídos por letras ou símbolos, na transcrição de uma operação aritmética clássica, em uma equação, cujo objetivo é o descobrimento dos dígitos originais.

Nestes quebra-cabeças cada letra é usada para representar um dígito distinto. Os números não podem iniciar com zero. As variações podem conter asteriscos substituindo os dígitos e assim, esta posição poderá conter qualquer dígito. Veja um exemplo:

     ABC
x    BAC
--------
    ****
+   **A
  ***B
--------
  ******

A cripto-aritmética é um procedimento de criptografar por substituição uma equação matemática, de uma operação aritmética clássica, e que a chave é uma regra matemática.

Quando as letras usadas para representar os dígitos distintos formam palavras ou frases com sentido, esta cripto-aritmética é denominada alfamético. Um alfamético também é uma operação aritmética e sua solução também respeita a regra matemática. A seguir o alfamético mais famoso:

  SEND
+ MORE
------
 MONEY

Um tipo de alfamético denominado "duplamente-verdadeiro" é formado por palavras numéricas cuja leitura produz também uma soma válida. Veja este exemplo de alfamético duplamente-verdadeiro:

  CINCO
+ CINCO
  CINCO
-------
 QUINZE

Solucionar uma cripto-aritmética envolve uma mistura de lógica, dedução e teste de possibilidades. As propriedades das operações aritméticas podem ser percebidas e usadas para eliminar algumas hipóteses. Por exemplo, se a soma de 2 números representados por A + B resulta em um total com duas casas BC, unidade e dezena, então é evidente que B = 1, pois o valor máximo que BC pode assumir é 9 + 8 = 17.

A seguir duas soluções para quebra-cabeças de cripto-aritmética:

1) Um número de três dígitos distintos, escrito como ABC, onde C é o dígito da unidade, B é o da dezena e A é o da centena, é desconhecido. Qual é este número? Sabendo que:

     ABC
x    BAC
--------
    ****
+   **A
  ***B
--------
  ******

Solução:

Podemos observar que nem A, nem B, nem C são zero, pois se fossem não poderíamos obter três linhas de produtos parciais.

Observamos também que o produto C x A termina em A e o produto C x B termina em B. De onde deduzimos, pela tabuada, pois outros números não possuem propriedade semelhante, que C só pode ser 1 ou 6. Contudo, se C fosse 1, o primeiro produto parcial não seria de quatro dígitos, mas de apenas três. Portanto, C = 6.

Sendo C = 6, então A e B só pode ser 2, 4 ou 8, como se esclarece com os exemplos:

6 x 2 = 12
6 x 4 = 24
6 x 8 = 48

Como o segundo produto parcial é de apenas três dígitos, então A não pode ser 4 ou 8, e portanto A = 2.

Agora temos duas possibilidades para B, ou B = 4 ou B = 8. Sendo A = 2, se B fosse 4, o terceiro produto parcial seria composto por três dígitos, em vez de quatro, desta forma, B = 8.

Assim, temos, A = 2, B = 8, C = 6. O número desconhecido é 286 e a multiplicação é a seguinte:

     286
x    826
--------
    1716
+   572
  2288
--------
  236236

2) Quais são os números do alfamético abaixo?

  SEND
+ MORE
------
 MONEY

Solução:

A letra M do resultado somente pode ser M = 1 pois é a única possibilidade em uma soma de dois números de quatro dígitos com resultado de cinco dígitos.

Para resultar o 1 no M do resultado, S + M é pelo menos 9. Sendo M = 1, S é 8 ou 9 e S + M é 9 ou 10, o que resulta em O igual a 0 ou 1. Mas M = 1 então O = 0.

Se ocorresse o transporte de 1 da coluna da centena (E + O) para a coluna do milhar (S + M), E seria 9 e N seria 0. Mas O = 0, desta forma não houve transporte de 1 e então S = 9.

Se não houvesse o transporte de 1 da coluna da dezena (N + R) para a coluna da centena (E + O), E seria igual a N, o que é impossível. Então houve um transporte e N = E + 1.

Se não houvesse o transporte de 1 da coluna da unidade (D + E) para a coluna da dezena (N + R), N + R seria igual a E + 10. Com N = E + 1, E + 1 + R seria igual a E + 10 e assim R seria 9. Mas S = 9, então houve um transporte e R = 8.

Para produzir o transporte de 1 da coluna da unidade (D + E) para a coluna da dezena (N + R) é necessário que D + E seja igual a 10 + Y. Como Y não pode ser 0 ou 1, D + E é pelo menos 12. Como D é no máximo 7, então E é no mínimo 5. Além disso, N é no máximo 7 e N = E + 1. Assim E é 5 ou 6.

Se E for 6 então para fazer D + E ser pelo menos 12, D precisa ser 7. Mas N = E + 1 então N também será 7, o que é impossível. Então E = 5 e N = 6.

Para fazer D + E ser pelo menos 12 é preciso ter D = 7 e então Y = 2.

A solução deste quebra-cabeça é O = 0, M = 1, Y = 2, E = 5, N = 6, D = 7, R = 8 e S = 9. E a equação fica:

  9567
+ 1085
------
 10652

Curiosidades aritméticas para o número 100

Vejam as operações aritméticas, aplicadas entre os dígitos da sequência 123456789, que resultam no número 100:

100 = 1 + 2 + 3 - 4 + 5 + 6 + 78 + 9
100 = 1 + 2 + 34 - 5 + 67 - 8 + 9
100 = 1 + 23 - 4 + 56 + 7 + 8 + 9
100 = 1 + 23 - 4 + 5 + 6 + 78 - 9
100 = 12 + 3 - 4 + 5 + 67 + 8 + 9
100 = 12 + 3 + 4 + 5 - 6 - 7 + 89
100 = 12 - 3 - 4 + 5 - 6 + 7 + 89
100 = 123 - 4 - 5 - 6 - 7 + 8 - 9
100 = 123 + 4 - 5 + 67 - 89
100 = 123 + 45 - 67 + 8 - 9
100 = 123 - 45 - 67 + 89

100 = -1 + 2 - 3 + 4 + 5 + 6 + 78 + 9

100 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 x 9
100 = 1 + 2 x 3 + 4 x 5 - 6 + 7 + 8 x 9
100 = 1 + 2 x 3 + 4 + 5 + 67 + 8 + 9
100 = 1 x 2 + 34 + 56 + 7 - 8 + 9
100 = (1 + 2 - 3 - 4) x (5 - 6 - 7 - 8 - 9)

Também é possível para a sequência inversa, 987654321:

100 = 9 - 8 + 7 + 65 - 4 + 32 - 1
100 = 9 - 8 + 76 - 5 + 4 + 3 + 21
100 = 9 + 8 + 76 + 5 + 4 - 3 + 2 - 1
100 = 9 + 8 + 76 + 5 - 4 + 3 + 2 + 1
100 = 9 - 8 + 76 + 54 - 32 + 1
100 = 98 + 7 + 6 - 5 - 4 - 3 + 2 - 1
100 = 98 - 7 + 6 + 5 + 4 - 3 - 2 - 1
100 = 98 + 7 - 6 + 5 - 4 + 3 - 2 - 1
100 = 98 + 7 - 6 + 5 - 4 - 3 + 2 + 1
100 = 98 - 7 + 6 + 5 - 4 + 3 - 2 + 1
100 = 98 - 7 + 6 - 5 + 4 + 3 + 2 - 1
100 = 98 + 7 - 6 - 5 + 4 + 3 - 2 - 1
100 = 98 - 7 - 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1
100 = 98 - 7 - 6 - 5 - 4 + 3 + 21
100 = 98 - 76 + 54 + 3 + 21

100 = -9 + 8 + 76 + 5 - 4 + 3 + 21
100 = -9 + 8 + 7 + 65 - 4 + 32 + 1
100 = -9 - 8 + 76 - 5 + 43 + 2 + 1

100 = (9 + 8 - 7) x (6 + 5 - 4 + 3) x (2 - 1)

Medidas de Tendência Central

Uma forma útil de descrever um grupo como um todo consiste em encontrar um único número que represente o que é "médio" naquele conjunto particular de dados. Em estatística descritiva este valor é conhecido por medida de tendência central, pois geralmente se localiza em torno do centro de uma distribuição, onde a maior parte dos dados tende a concentrar-se.

A estatística descritiva é um ramo da estatística que aplica várias técnicas para descrever e sumariar um conjunto de dados. As medidas de tendência central mais conhecidas são a moda, a mediana, o ponto médio e a média.

A moda simplesmente é o dado que ocorre com maior freqüência no conjunto. A moda pode ser localizada com muito mais facilidade por exame do que por cálculo. Se os dados estão organizados em uma tabela de freqüências, a moda é o valor que possui a maior freqüência na tabela. Um conjunto pode não ter valores que se repetem, tornando uma distribuição amodal, ou pode ter duas ou mais modas tornando uma distribuição bimodal ou polimodal. Um conjunto com uma moda apenas é uma distribuição unimodal.

A mediana corresponde ao ponto central da distribuição e é localizada quando os dados estão dispostos em ordem. A mediana é considerada a medida de tendência central que corta a distribuição em duas partes iguais. Se for uma distribuição com número ímpar de dados, a mediana será o dado que fica exatamente no meio da distribuição. Sua posição é dada pela fórmula n+1/2. Se o número de dados for par haverá dois valores considerados centrais. Visto que a posição pela fórmula n+1/2 será um valor fracionado, a mediana vai cair entre os dois valores centrais, então a mediana será a média aritmética destes dois valores. Se os dados estão apresentados em uma tabela de freqüências basta construir uma distribuição de freqüências acumuladas e a mediana será o dado em que o valor acumulado contém a posição da mediana.

O ponto médio é o valor que está a meio caminho entre o menor e o maior valor do conjunto de dados. Para calcular soma-se esses valores extremos e divide-se o resultado por dois.

A média é o valor que aponta para onde mais se concentram os dados de uma distribuição. Pode ser considerada o ponto de equilíbrio das freqüências, num histograma. É a medida de tendência central mais comumente usada. Existem diversos tipos de média, cada uma adequada para uma determinada característica do conjunto de dados. Para suas fórmulas existem duas versões, uma para dados agrupados em uma tabela de freqüências, ou ponderada pelos pesos dos dados, e outra para dados não agrupados.

A média aritmética é a média mais simples, é o somatório dos dados de um conjunto dividido pelo número de dados deste conjunto.

Média aritmética:

Média aritmética ponderada:

A média geométrica é indicada para um conjunto onde os dados fazem uma progressão geométrica. É a raiz n-ésima do produtório dos dados de um conjunto.

Média geométrica:

Média geométrica ponderada:

A média harmônica de um conjunto de dados é utilizada quando se quer valorizar o conjunto onde os dados são mais uniformes, ou mais equilibrados. É o número de dados do conjunto dividido pelo somatório dos inversos dos dados:

Média harmônica:

Média harmônica ponderada:

Caso especial da média harmônica para dois valores:

A média desarmônica é utilizada quando se quer valorizar o conjunto onde os dados possuem uma maior disparidade, ou maior oscilação. É definida como a média harmônica entre a média aritmética desse conjunto e o quadrado da média aritmética do conjunto dividido pela média harmônica do mesmo:

Média desarmônica:

Média desarmônica ponderada:

Caso especial da média desarmônica para dois valores:

A média quadrática é a raiz quadrada da média aritmética dos quadrados dos dados:

Média quadrática:

Média quadrática ponderada:

A média cúbica é a raiz cúbica da média aritmética dos cubos dos dados:

Média cúbica:

Média cúbica ponderada:

Em uma análise estatística a moda nos mostra o valor mais comum do conjunto de dados, porém não é necessariamente igual à média. A mediana nos mostra o equilíbrio da distribuição dos dados no conjunto, se próxima ao valor da média. E a média é limitada pela influência dos valores das extremidades, por isso em alguns casos é muito comum ignorar o maior e o menor valor de um conjunto para se calcular a média.

A maioria dos autores adotam como símbolo da média populacional a letra grega μ (Mu) e o símbolo da média amostral a letra grega χ (Qui).