A fórmula no algoritmo do Google

A história do Google começou em 1996 quando Larry Page e Sergey Brin, ambos estudantes de Ciência da Computação na Universidade Stanford, deram início ao desenvolvimento de um mecanismo de busca para a Web. No ano seguinte este mecanismo recebeu o nome Google.

Ainda em Stanford, Larry e Sergey desenvolveram um método para graduar as ligações de um banco de dados de documentos, a World Wide Web ou qualquer outro banco de dados de hipertexto. Este método foi patenteado pela Universidade Stanford e posteriormente nomeado pelo Google como PageRank.

O sistema PageRank é usado pelo motor de busca Google para ajudar a determinar a relevância ou importância de uma página. O PageRank é a característica mais importante do algoritmo do Google.

O PageRank assina uma posição ou nota a cada resultado de busca. Quanto maior a nota, mais alta sua posição na lista de resultados. As notas são determinadas, em parte, pelo número de outras páginas de Web com links para a página visada. Nem todos os votos tem o mesmo valor. Os votos de páginas de alta popularidade na Web contam mais do que os votos de sites de baixa popularidade. Quanto mais links uma página de Web oferece, mais diluído seu poder de votação.

Esta estrutura de links da web usada para calcular a classificação de cada página fornece uma ajuda importante para produzir resultados precisos. Em um documento, apresentando o protótipo do mecanismo de busca Google, Sergey Brin e Larry Page descreveram o algoritmo do PageRank (PR). O PageRank é um algoritmo recursivo, pois a mudança do PR de uma página afeta os PRs das outras páginas. Uma mudança no PR de outra página também mudará o PR da página consequente e assim sucessivamente até que, inclusive, pode afetar o PR da página inicial.

Uma página A possui as páginas T1...Tn que apontam para ela. O parâmetro d é um fator de amortecimento que pode atribuir valor entre 0 e 1. Usualmente definido d para 0,85. E C(A) é definido como o número de links saindo da página A. O PageRank da página A é dado na fórmula PR(A) = (1-d) + d (PR(T1)/C(T1) + ... + PR(Tn)/C(Tn)).

Note que os PageRanks formam uma distribuição de probabilidade sobre as páginas web, então a soma de todos os PageRanks das páginas Web será um.

Um PageRank ou PR(A) pode ser calculado usando um simples algoritmo iterativo. Um PageRank para 26 milhões de páginas web pode ser calculado em poucas horas em uma workstation de tamanho médio.

Saiba mais em:

The Anatomy of a Large-Scale Hypertextual Web Search Engine (http://infolab.stanford.edu/~backrub/google.html)

United States Patent 6,285,999 (http://patft.uspto.gov/netacgi/nph-Parser?Sect1=PTO1&Sect2=HITOFF&d=PALL&p=1&u=%2Fnetahtml%2FPTO%2Fsrchnum.htm&r=1&f=G&l=50&s1=6285999.PN.&OS=PN/6285999&RS=PN/6285999)

Tipografia matemática para páginas web

A editoração de páginas para exibição em um navegador web não é fácil quando se tenta reproduzir fórmulas matemáticas. Como estratégia é comum o uso de imagens para este tipo de exibição, porém quebrando toda integração com o texto.

Felizmente esta dificuldade tem uma solução, existe uma biblioteca em JavaScript que exibe equações matemáticas em navegadores web, usando a linguagem de marcação LaTeX ou MathML.

O MathJax (http://www.mathjax.org/) é um JavaScript de código livre capaz de exibir expressões matemáticas e é compatível com todos os navegadores modernos. Com o MathJax não é mais necessário leitores específicos, plugins ou outras fontes de caracteres instalados no navegador. Simplesmente funciona em qualquer navegador.

Usa uma versão moderna do CSS e fontes para web, ao invés de imagens ou flash, assim as expressões matemáticas podem ser ampliadas ou reduzidas junto com o texto que as acompanham. O programador web apenas incorpora o código da expressão matemática, na página em HTML, usando a linguagem de marcação LaTeX ou MathML. Os códigos convivem numa boa.

O MathJax pode ser disponibilizado para uso nas páginas de duas formas, pode ser instalado diretamente no servidor HTTP do usuário, ou pode ser usado acessando o serviço através da Rede de Entrega de Conteúdo (Content Delivery Network - CDN). Nesta última forma pode ser integrado a plataformas incluindo o Tumblr, MediaWiki, Drupal e o Wordpress.

É possível ainda copiar e colar o conteúdo, transportando a expressão matemática para editores de textos e até para softwares de cálculo como Maple e Mathematica.

Para integrar o MathJax em um serviço de blog, inclua a seguinte linha no código do tema ou do modelo de layout, que determinam a aparência das páginas:

<script type="text/javascript" src="http://cdn.mathjax.org/mathjax/latest/MathJax.js?config=default"></script>

Esta linha deve ficar entre as marcações <head> </head>, se existirem, ou no final se não existirem. Aqui no Blogger o modelo está acessível em "Design/Editar HTML"

Veja exemplos de expressões em LaTeX, representando as respectivas equações matemáticas, que podem ser incorporadas em um código fonte HTML:

\[ \left( \sum_{k=1}^n a_k b_k \right)^2 \leq \left( \sum_{k=1}^n a_k^2 \right) \left( \sum_{k=1}^n b_k^2 \right) \]

\[ \left( \sum_{k=1}^n a_k b_k \right)^2 \leq \left( \sum_{k=1}^n a_k^2 \right)
 \left( \sum_{k=1}^n b_k^2 \right) \]

\[ \frac{1}{\Bigl(\sqrt{\phi \sqrt{5}}-\phi\Bigr) e^{\frac25 \pi}} =
1+\frac{e^{-2\pi}} {1+\frac{e^{-4\pi}} {1+\frac{e^{-6\pi}}
{1+\frac{e^{-8\pi}} {1+\ldots} } } } \]

\[ \frac{1}{\Bigl(\sqrt{\phi \sqrt{5}}-\phi\Bigr) e^{\frac25 \pi}} =
1+\frac{e^{-2\pi}} {1+\frac{e^{-4\pi}} {1+\frac{e^{-6\pi}}
{1+\frac{e^{-8\pi}} {1+\ldots} } } } \]

Também dentro do parágrafo do texto. Esta expressão \(\sqrt{3x-1}+(1+x)^2\) é um exemplo de expressão na mesma linha do texto, sem atrapalhar os espaços entre as linhas.

O MathJax é um projeto conjunto da Sociedade Americana de Matemática, da Design Science Inc. e da Sociedade para Matemática Industrial e Aplicada.

Uma dica, clique com o botão direito do mouse em uma destas expressões e explore o menu do MathJax!

Dos juros simples para os juros compostos

Usado na matemática financeira, o juro é uma taxa percentual incidente sobre um valor ou quantia numa unidade de tempo determinado. Trata-se de uma compensação ou remuneração sobre o valor inicial. Pode ser expresso em valor monetário ($) ou como uma taxa de juro (%).

No cálculo dos juros, os termos que compõem as fórmulas são os seguintes:

PV = Valor Presente (do inglês Present Value) é o valor inicial, também chamado de valor principal, valor atual, valor original ou capital;

i = Taxa de juros (do inglês Interest Rate), é a taxa aplicada numa unidade de período;

n = Número de períodos, com a unidade de medida do período sendo ao dia (a.d.), ao mês (a.m.) ou ao ano (a.a.);

M = Montante é o valor final, ou Valor Futuro (em inglês, Future Value, FV);

J = Juros, é a taxa aplicada após n períodos;

VJ = Valor dos Juros, é o valor monetário no qual representa J e que será adicionado ao valor presente para compor o montante.

Os juros podem ser calculados de duas formas, como juros simples ou juros compostos. Os juros simples incidem sobre o valor presente mas não sobre os juros dos períodos anteriores. Ocasionando uma progressão aritmética do valor. Os juros compostos incidem sobre o valor presente e também sobre os juros dos períodos anteriores, sendo juros sobre juros. O valor dos juros de cada período é incorporado ao valor presente e passa a render juros também. Ocasionando uma progressão geométrica.

Por exemplo, PV = 100,00 e taxa de juros de 10%:

Juros Simples: 100 + 30%

Juros Compostos: 100 + 33,1%

Os juros simples podem ser resolvidos por uma regra de três composta, onde o valor presente, em um período produz i, e o valor presente, em n períodos produz J:

Resolvendo a regra de três composta obtemos a fórmula para cálculo dos juros simples:

Os juros simples no final dos períodos é basicamente a taxa de juros vezes o número de períodos:

Como a taxa de juros é uma porcentagem então o número na fórmula fica expresso em uma razão centesimal:

A fórmula somente é válida quando a taxa e o tempo estiverem numa mesma unidade, por exemplo se a taxa de juros for ao mês, o número de períodos deve ser em meses.

Sabendo os juros que serão aplicados, o valor dos juros é o valor presente vezes os juros:

O montante, ou valor futuro, é o valor presente mais o valor dos juros:

Substituindo o termo VJ, sabendo que VJ = PV x i x n, então o montante também pode ser obtido por:

Exemplo prático para cálculo dos juros simples:

Qual o valor futuro de R$ 300,00 após 6 meses com juros simples de 7% a.m.?

J = 7/100 x 6 = 0,42  portanto J = 42%

VJ = 300 x 0,42 = 126  portanto VJ = R$ 126,00

M = 300 + 126 = 426  portanto M = R$ 426,00

Para os juros simples vimos que o valor dos juros é constante, acrescido período à período, calculado sempre sobre o valor inicial. Nos juros compostos o acréscimo entre cada período é calculado sobre o valor do período anterior, que atua como um montante parcial.

A fórmula para cálculo dos juros compostos pode ser deduzida a partir da fórmula dos juros simples. Demonstrando, para o primeiro período, desta forma n = 1, os juros serão:

Sabendo que J = i, VJ = PV x J e M = PV + VJ, então o montante para este primeiro período corrido será:

No cálculo dos juros compostos o primeiro montante passa a ser o valor presente do próximo período, assim, o segundo montante é o montante anterior mais o valor dos juros anterior. E substituindo os termos podemos chegar a uma fórmula simplificada:

Da mesma forma, o cálculo para o período seguinte é realizado usando o segundo montante para ser o valor presente do terceiro período:

Podemos perceber, pela identificação do período e pela potência, que a fórmula para o cálculo do montante final nos juros compostos, após todos os períodos, com n sendo o número de períodos, é:

A fórmula para o cálculo dos juros compostos pode ser dada por uma das seguintes simplificações:

Se M = PV x (1+i)^n e VJ = M - PV = PV x J, então:

Ou se M = PV + VJ, M = PV x (1+i)^n e VJ = PV x J, então:

Em ambas as simplificações chega-se a fórmula para juros compostos:

Exemplo prático para cálculo dos juros compostos:

Qual o valor futuro de R$ 300,00 após 6 meses com juros compostos de 7% a.m.?

J = (1+7/100)^6 - 1 = 0,5007  portanto J = 50,07%

VJ = 300 x 0,5007 = 150,21  portanto VJ = R$ 150,21

M = 300 + 150,21 = 450,21  portanto M = R$ 450,21

Fórmulas para o cálculo do desvio padrão

Em estatística, o desvio padrão é um valor que quantifica a dispersão dos dados em torno da média. Basicamente é a média quadrática das diferenças entre o valor de cada dado e a média.

O desvio padrão, dentre as medidas de dispersão, é o mais utilizado pois seu valor está na mesma unidade de medida dos dados e então pode descrever mais claramente a quantidade de dispersão na distribuição da frequência.

A fórmula para o cálculo do desvio padrão possui algumas variantes. As que apresento aqui: uma utiliza as diferenças entre o valor de cada dado e a média, isto é, o desvio médio; e a outra, que mostro em duas versões, utiliza somente os valores dos dados. Em todos os casos é apresentado o cálculo para população e para amostra, para dados não agrupados ou agrupados em frequências.

Desvio padrão com base na população para dados não agrupados:

Desvio padrão com base na população para dados agrupados:

Desvio padrão com base em uma amostra para dados não agrupados:

Desvio padrão com base em uma amostra para dados agrupados:

Para calcular o desvio padrão com estas fórmulas, uma dica é montar uma tabela efetuando cada passo do cálculo e assim usar os somatórios para compor a fórmula, fica muito mais fácil.

Por exemplo, na tabela abaixo a coluna x contém os valores dos dados e a coluna w contém os respectivos pesos. A média (M) destes dados é igual a 5,56. Os somatórios das fórmulas para dados agrupados estão calculados na última linha:

        x     w    x*w    x-M   (x-M)²  (x-M)²*w   x²   x²*w

        7     6    42    1,44    2,06    12,37     49    294
        4     7    28   -1,56    2,45    17,12     16    112
        8     3    24    2,44    5,93    17,8      64    192
        6    12    72    0,44    0,19     2,28     36    432
        3     2     6   -2,56    6,57    13,15      9     18
        5     9    45   -0,56    0,32     2,86     25    225

Soma         39   217                    65,59          1273

Para estes dados acima, o desvio padrão com base na população é igual a 1,297 e com base em uma amostra é 1,314.

A centróide de um polígono

A centróide é o ponto no interior de uma figura geométrica que define o centro geométrico. Se a figura geométrica possui um corpo de densidade uniforme então a centróide coincide com o centro de massa e se a figura geométrica está submetida a um campo gravitacional então este ponto coincide com o centro de gravidade.

A centróide de um polígono fechado, não sobreposto e definido por n vértices, pode ser calculado utilizando uma fórmula que recebe as coordenadas dos vértices e sua área. Então antes de se calcular a centróide por esta fórmula é necessário calcular a área do polígono.

O cálculo para determinar a área de um polígono utiliza uma fórmula bastante simples. Considere um polígono feito com segmentos de reta entre n vértices (xi,yi), com i=0 até n-1. O último vértice (xn,yn) é assumido para ser o mesmo que o primeiro (x0,y0), isto é, o polígono está fechado.

A área é dada pela fórmula:


O sinal da área pode ser usado para determinar a ordem dos vértices do polígono. Se o sinal é positivo então os vértices estão ordenados no sentido contra o relógio, de outra forma, se o sinal é negativo então os vértices estão ordenados no sentido do relógio.

Para os cálculos das coordenadas da centróide utilizam-se as fórmulas abaixo:


Vejamos então um exemplo. Abaixo é apresentado um gráfico com um polígono e seus vértices estão nas coordenadas (1,3),(7,2),(10,0),(11,5),(8,7) e (3,6). Vamos calcular as coordenadas da centróide.


Aplicando a fórmula do cálculo da área temos:

A = ((1*2-7*3) + (7*0-10*2) + (10*5-11*0) + (11*7-8*5) + (8*6-3*7) + (3*3-1*6))/2 = 39

A coordenada x da centróide é o resultado da expressão abaixo:

Cx = ((1+7)*(1*2-7*3) + (7+10)*(7*0-10*2) + (10+11)*(10*5-11*0) + (11+8)*(11*7-8*5) + (8+3)*(8*6-3*7) + (3+1)*(3*3-1*6))/(6*39) = 6,7

E a coordenada y da centróide é o resultado da expressão abaixo:

Cy = ((3+2)*(1*2-7*3) + (2+0)*(7*0-10*2) + (0+5)*(10*5-11*0) + (5+7)*(11*7-8*5) + (7+6)*(8*6-3*7) + (6+3)*(3*3-1*6))/(6*39) = 4,0

Assim a centróide deste polígono está na coordenada x = 6,7 e y = 4, já mostrado no desenho do polígono acima.

Como chegar na fórmula de resolução da equação de 2º grau

Embora no Brasil a fórmula de resolução da equação de 2º grau seja atribuída ao matemático indiano Bhaskara (1114-1185), ela foi desenvolvida alguns séculos depois pelo matemático francês François Viète (1540-1603).

Na época de Bhaskara a resolução tinha a forma de prosa, como uma receita que ia descrevendo as operações da resolução do problema. Assim, os indianos usavam a seguinte regra:

"Multiplique ambos os membros da equação pelo número que vale quatro vezes o coeficiente do quadrado e some a eles um número igual ao quadrado do coeficiente original da incógnita. A solução desejada é a raiz quadrada disso."

Bhaskara conhecia a regra acima, porém a regra não foi descoberta por ele. A regra já era do conhecimento de, no mínimo, o matemático Sridara, que viveu há mais de 100 anos antes de Bhaskara.

História à parte, veja como aplicando a regra na equação ax² + bx + c = 0 se chega à fórmula que conhecemos como fórmula de Bhaskara:

A equação do 2º grau:


Multiplique ambos os membros da equação pelo número que vale quatro vezes o coeficiente do quadrado:


Some a eles um número igual ao quadrado do coeficiente original da incógnita:


A solução desejada é a raiz quadrada disso: