Os dígitos verificadores do CPF/CNPJ

O CPF (Cadastro de Pessoa Física) e o CNPJ (Cadastro Nacional da Pessoa Jurídica) são cadastros para identificar uma pessoa perante a Receita Federal do Brasil. O CPF possui um número com 9 dígitos, denominado raiz, e o CNPJ possui um número com 12 dígitos, raiz mais sufixo. Estes números, são complementados por dígitos verificadores (DV), totalizando 11 dígitos no CPF e 14 dígitos no CNPJ. Estes dígitos verificadores servem para conferir a integridade e autenticidade do número, evitando erros de digitação, números falsos etc. O número do CPF tem o formato xxx.xxx.xxx-vv e o número do CNPJ tem o formato xx.xxx.xxx/xxxx-vv, os dígitos verificadores são os dois últimos, nos dois cadastros.

Cada dígito verificador é calculado separadamente e o primeiro entra no cálculo do segundo. O algoritmo do cálculo é denominado Módulo 11, cada dígito verificador é gerado pelo resto da divisão por 11, e o que é dividido é o somatório dos dígitos do número e seus respectivos pesos.

Os dígitos dos números do CPF e CNPJ recebem pesos antes de serem somados. Para o CPF o peso é crescente em uma unidade de 2 em diante, até a quantidade de dígitos. Para o CNPJ o peso também é crescente em uma unidade de 2 em diante mas até 9, retornando a 2 e repetindo a sequência até a quantidade de dígitos. Esta quantidade de dígitos é ampliada no cálculo do segundo DV pois o primeiro DV entra como parte do número raiz do CPF e CNPJ.

CPF:
Pesos do 1º DV: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10      (para os 9 dígitos do número)
Pesos do 2º DV: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11  (para os 9 dígitos do número mais o 1º DV)

CNPJ:
Pesos do 1º DV: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 2, 3, 4, 5     (para os 12 dígitos do número)
Pesos do 2º DV: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 2, 3, 4, 5, 6  (para os 12 dígitos do número mais o 1º DV)

Os dígitos dos números recebem os pesos na ordem do menos significativo ao mais significativo, isto é, da direita para a esquerda. Então a sequência dos pesos fica invertida. Cada dígito é multiplicado ao seu respectivo peso. Os produtos são somados e então divididos por 11.

Cada dígito verificador é gerado a partir do resto desta divisão por 11. Se o resto for 0 ou 1 o dígito verificador será 0, se o resto for maior que 1 o dígito verificador será a subtração de 11 pelo resto. Esta regra é a mesma tanto no CPF como no CNPJ, o que mudam são somente os pesos.

Os exemplos a seguir mostram os cálculos dos dígitos verificadores de um número CPF e de um número CNPJ. Perceba que o primeiro peso da sequência vai para o dígito mais à direita. No cálculo do 1º DV este dígito mais à direita (menos significativo) é a unidade do número raiz no caso do CPF e a unidade do sufixo no caso do CNPJ. Já no cálculo do 2º DV o primeiro peso vai para o 1º DV, que entrou no número à direita:


CPF nº 147.258.369

(1x10)+(4x9)+(7x8)+(2x7)+(5x6)+(8x5)+(3x4)+(6x3)+(9x2)
   10 +  36 +  56 +  14 +  30 +  40 +  12 +  18 +  18  =  234

O resto da divisão de 234 por 11 é 3, portanto o 1º DV é 11-3, que é igual a 8. O CPF fica, por enquanto:

CPF nº 147.258.369-8

(1x11)+(4x10)+(7x9)+(2x8)+(5x7)+(8x6)+(3x5)+(6x4)+(9x3)+(8x2)
  11  +  40  +  63 +  16 +  35 +  48 +  15 +  24 +  27 +  16  =  295

O resto da divisão de 295 por 11 é 9, portanto o 2º DV é 11-9, que é igual a 2. O CPF completo é 147.258.369-82.


CNPJ nº 14.725.836/0001

(1x5)+(4x4)+(7x3)+(2x2)+(5x9)+(8x8)+(3x7)+(6x6)+(0x5)+(0x4)+(0x3)+(1x2)
  5  +  16 +  21 +  4  +  45 +  64 +  21 +  36 +  0  +  0  +  0  +  2  =  214

O resto da divisão de 214 por 11 é 5, portanto o 1º DV é 11-5, que é igual a 6. O CNPJ fica, por enquanto:

CNPJ nº 14.725.836/0001-6

(1x6)+(4x5)+(7x4)+(2x3)+(5x2)+(8x9)+(3x8)+(6x7)+(0x6)+(0x5)+(0x4)+(1x3)+(6x2)
  6  +  20 +  28 +  6  +  10 +  72 +  24 +  42 +  0  +  0  +  0  +  3  +  12 =  223

O resto da divisão de 223 por 11 é 3, portanto o 2º DV é 11-3, que é igual a 8. O CNPJ completo é 14.725.836/0001-68.


Estes cálculos são frequentemente utilizados em sistemas computacionais para testar a veracidade dos números. Impede erros de digitação e detecta números falsos caso alguém queira inventar um número mentalmente. Obviamente, é possível inventar fazendo todos os cálculos para os dígitos verificadores, no entanto, as pessoas normais precisam de pelo menos um lápis e um papel para isso.

Observações: Nos números de CNPJ emitidos antes de 1993 (nesta época ainda era chamado CGC), o 8º dígito (o menos significativo) é um DV módulo 10 dos sete dígitos anteriores. A partir de 1993 o CNPJ não foi mais gerado assim. Os números de CPF e CNPJ usados nos exemplos deste artigo foram inventados por mim, pela posição das teclas em meu teclado. Se estes números estão sendo utilizados por alguém, esta pessoa é sortuda, possui uma sequência de teclas.

Dos juros simples para os juros compostos

Usado na matemática financeira, o juro é uma taxa percentual incidente sobre um valor ou quantia numa unidade de tempo determinado. Trata-se de uma compensação ou remuneração sobre o valor inicial. Pode ser expresso em valor monetário ($) ou como uma taxa de juro (%).

No cálculo dos juros, os termos que compõem as fórmulas são os seguintes:

PV = Valor Presente (do inglês Present Value) é o valor inicial, também chamado de valor principal, valor atual, valor original ou capital;

i = Taxa de juros (do inglês Interest Rate), é a taxa aplicada numa unidade de período;

n = Número de períodos, com a unidade de medida do período sendo ao dia (a.d.), ao mês (a.m.) ou ao ano (a.a.);

M = Montante é o valor final, ou Valor Futuro (em inglês, Future Value, FV);

J = Juros, é a taxa aplicada após n períodos;

VJ = Valor dos Juros, é o valor monetário no qual representa J e que será adicionado ao valor presente para compor o montante.

Os juros podem ser calculados de duas formas, como juros simples ou juros compostos. Os juros simples incidem sobre o valor presente mas não sobre os juros dos períodos anteriores. Ocasionando uma progressão aritmética do valor. Os juros compostos incidem sobre o valor presente e também sobre os juros dos períodos anteriores, sendo juros sobre juros. O valor dos juros de cada período é incorporado ao valor presente e passa a render juros também. Ocasionando uma progressão geométrica.

Por exemplo, PV = 100,00 e taxa de juros de 10%:

Juros Simples: 100 + 30%

Juros Compostos: 100 + 33,1%

Os juros simples podem ser resolvidos por uma regra de três composta, onde o valor presente, em um período produz i, e o valor presente, em n períodos produz J:

Resolvendo a regra de três composta obtemos a fórmula para cálculo dos juros simples:

Os juros simples no final dos períodos é basicamente a taxa de juros vezes o número de períodos:

Como a taxa de juros é uma porcentagem então o número na fórmula fica expresso em uma razão centesimal:

A fórmula somente é válida quando a taxa e o tempo estiverem numa mesma unidade, por exemplo se a taxa de juros for ao mês, o número de períodos deve ser em meses.

Sabendo os juros que serão aplicados, o valor dos juros é o valor presente vezes os juros:

O montante, ou valor futuro, é o valor presente mais o valor dos juros:

Substituindo o termo VJ, sabendo que VJ = PV x i x n, então o montante também pode ser obtido por:

Exemplo prático para cálculo dos juros simples:

Qual o valor futuro de R$ 300,00 após 6 meses com juros simples de 7% a.m.?

J = 7/100 x 6 = 0,42  portanto J = 42%

VJ = 300 x 0,42 = 126  portanto VJ = R$ 126,00

M = 300 + 126 = 426  portanto M = R$ 426,00

Para os juros simples vimos que o valor dos juros é constante, acrescido período à período, calculado sempre sobre o valor inicial. Nos juros compostos o acréscimo entre cada período é calculado sobre o valor do período anterior, que atua como um montante parcial.

A fórmula para cálculo dos juros compostos pode ser deduzida a partir da fórmula dos juros simples. Demonstrando, para o primeiro período, desta forma n = 1, os juros serão:

Sabendo que J = i, VJ = PV x J e M = PV + VJ, então o montante para este primeiro período corrido será:

No cálculo dos juros compostos o primeiro montante passa a ser o valor presente do próximo período, assim, o segundo montante é o montante anterior mais o valor dos juros anterior. E substituindo os termos podemos chegar a uma fórmula simplificada:

Da mesma forma, o cálculo para o período seguinte é realizado usando o segundo montante para ser o valor presente do terceiro período:

Podemos perceber, pela identificação do período e pela potência, que a fórmula para o cálculo do montante final nos juros compostos, após todos os períodos, com n sendo o número de períodos, é:

A fórmula para o cálculo dos juros compostos pode ser dada por uma das seguintes simplificações:

Se M = PV x (1+i)^n e VJ = M - PV = PV x J, então:

Ou se M = PV + VJ, M = PV x (1+i)^n e VJ = PV x J, então:

Em ambas as simplificações chega-se a fórmula para juros compostos:

Exemplo prático para cálculo dos juros compostos:

Qual o valor futuro de R$ 300,00 após 6 meses com juros compostos de 7% a.m.?

J = (1+7/100)^6 - 1 = 0,5007  portanto J = 50,07%

VJ = 300 x 0,5007 = 150,21  portanto VJ = R$ 150,21

M = 300 + 150,21 = 450,21  portanto M = R$ 450,21

A matemática financeira do FarmVille

O FarmVille, um dos jogos mais populares no Facebook, possui uma aplicação básica da matemática financeira. Em um jogo onde comercializa-se uma variedade de produtos com diferentes preços para compra e venda, para se obter o maior lucro ou ganhar dinheiro mais rápido é preciso comparar matematicamente os valores. Além do índice de experiência (XP) que também pode ser ponderado na escolha do item a ser produzido.

No FarmVille existem as moedas (Farm Coins) que ganhamos principalmente na venda da produção e as notas (Farm Cash) que ganhamos uma a cada mudança de nível. De todos os itens que estão disponíveis no mercado, uns só podem ser comprados com as moedas, outros só com as notas e alguns com ambas. Existe também o ganho de experiência (XP Gained) que provém do trabalho ou de algumas transações comerciais. Este serve para avançarmos nos níveis do jogo.

As notas servem para comprar itens especiais e são adquiridas em maior quantidade através da compra real por cartão de crédito. As moedas compram os itens básicos porém suficientes para nos divertirmos no jogo e são adquiridas gratuitamente aos montes nas colheitas. As moedas também podem ser adquiridas por cartão de crédito mas não é necessário, vamos discutir aqui somente o jogo gratuito.

Para realizar uma plantação é necessário arar a terra (Plow), plantar (Plant) as sementes (Seeds), esperar o crescimento (Grown) e então fazer a colheita (Harvest) e venda (Sell) do produto. Numa próxima produção todos estes passos se repetem.

Os itens são caracterizados por preço de compra, tempo para colheita, experiência adquirida e preço de venda. Diversas combinações dentre estas características são distribuídas para os produtos agrícolas e o jogo vai nos disponibilizando mais itens a medida que avançamos nos níveis.

Um abacaxi custa 95 moedas na compra da semente, ganha-se duas unidades de experiência no plantio, demora 2 dias para a colheita e na venda de sua produção ganha-se 242 moedas. Estes valores são para cada bloco de terra arada, desta forma para cada bloco plantado, considerando o gasto de 15 moedas para arar a terra, temos um lucro de 242 - 95 - 15 = 132 moedas. Como demora 48 horas o crescimento então ganhamos 132 / 48 = 2,75 moedas por hora. Em XP ganhamos uma unidade em arar a terra mais duas unidades pelo plantio, proporcionando neste período de 48 horas um ganho de 0,06 unidade de experiência por hora.

Já um tomate custa 100 moedas a semente, ganha-se 1 XP no plantio, demora 8 horas para a colheita e na venda ganha-se 173 moedas. O lucro será de apenas 173 - 100 - 15 = 58 moedas entretando ganharemos 58 / 8 = 7,25 moedas por hora graças a colheita mais rápida. Em XP ganha-se um por arar e mais um pelo plantio, proporcionando neste período de 8 horas um ganho de 0,25 XP por hora.

Para se obter um ganho acelerado de moedas é preciso analisar o lucro por hora pois alguns itens pagam bem mas demoram muito para produzir. Uma produção com ganho menor mas com uma maior rotatividade pode trazer um lucro maior no mesmo período de tempo. Durante uma produção de abacaxi ganha-se 132 moedas nestas 48 horas, mas em 48 horas podemos ter seis produções de tomates, totalizando 348 moedas nestas 48 horas.

Outro ponto a considerar é a preferência pelo ganho de moedas ou de experiência. Também cada item vai ser melhor para um ou para outro. Ganhar experiência é bom porque mais itens ficam disponíveis e quase sempre vem um item mais lucrativo.

Claro que ninguém vai querer ou poder ficar o tempo todo plantando e colhendo na frente do computador, assim escolha o melhor item de acordo com as horas que você tem disponíveis para jogar o FarmVille.

Como medir a altura ou a profundidade usando o tempo da queda?

Um dos modos de calcular a altura ou a profundidade, por exemplo da janela de um prédio ou de um poço, é soltar um objeto no alto e medir o tempo gasto da sua queda até que este objeto chegue ao final.

Para realizar este cálculo nós utilizamos uma fórmula do Movimento Uniformemente Variado (M.U.V.), pois durante a queda do objeto o valor da aceleração escalar instantânea permanece constante no decorrer do tempo. Precisamente, utilizamos a função horária dos espaços:

Na fórmula, a aceleração escalar está representada pela letra Gama (Γ) e neste cálculo corresponde à aceleração da gravidade (g) da Terra. Seu valor está em torno de 9,8 m/s². O sinal de g será positivo pois a orientação da trajetória é a mesma da gravidade. Os valores para posição inicial (s0) e velocidade inicial (v0) são adotados como nulos porque a distância será a partir de onde o objeto é solto e o objeto vai estar parado em nossa mão. Então, simplificando a fórmula, a distância (d) à ser calculada é dada por:

Por exemplo, se o tempo gasto na queda do objeto foi três segundos, a distância será aproximadamente 44 metros (d = 4,9 x 3²). Apenas para ilustrar, o objeto atingiu o final a uma velocidade de 29,4 m/s (v = v0 + g.t) (função horária da velocidade).

Se quiséssemos ser mais precisos, poderíamos considerar que o tempo total corresponde a soma do tempo da queda do objeto com o tempo do retorno do som da batida. Entretanto, como a velocidade do som é relativamente alta, em torno de 340 m/s, para cada metro de distância o som demora apenas 0,003 segundos em seu deslocamento. Muito pouco para influenciar este cálculo. A não ser que a queda tenha mais de 170 metros, o que daria uma porção do tempo total de aproximadamente 0,5 segundos para o tempo do som.

O procedimento de introduzir o tempo do som ao cálculo é simples porém deixa de ser um cálculo que pode ser efetuado mentalmente. A distância percorrida pelo som é 340 vezes o tempo gasto (d = 340 x ts) e a distância percorrida pelo objeto é, como vimos, a aceleração da gravidade, dividido por dois, vezes o quadrado do tempo gasto pelo objeto (d = g/2 x to²). Estas distâncias são as mesmas então 340 x ts = g/2 x to². A soma, do tempo gasto pelo objeto mais o tempo gasto pelo som, é igual a três (to + ts = 3), consequentemente o tempo gasto pelo som é igual a três menos o tempo gasto pelo objeto (ts = 3 - to). Colocando tudo numa equação podemos encontrar um dos tempos (a aceleração da gravidade foi arredondada para 10 m/s² para facilitar o cálculo):

340 x ts = g/2 x to²
340 x (3 - to) = 10/2 x to²
1020 - 340to = 5 x to²
to² = 1020/5 - 340/5 x to
to² = 204 - 68to
to² + 68to - 204 = 0

Neste ponto chegamos a uma equação do segundo grau e resolvendo pela fórmula de Bhaskara obtemos que o tempo gasto pelo objeto é igual a 2,88 segundos. Logo, o tempo gasto pelo som foi três menos 2,88 (ts = 3 - to), que é igual a 0,12 segundos. Para concluir, basta colocar um destes valores de tempo na sua respectiva fórmula para obtermos o cálculo da distância. Se d = g/2 x to² então d = 9,8/2 x (2,88)² = 40,64 metros. Usando a outra fórmula, d = 340 x ts = 340 x 0,12 = 40,8 metros. Os valores não são exatos pois fizemos diversos arredondamentos pelo caminho.

Para obter um melhor resultado nesta medida é interessante que o objeto tenha uma boa densidade para não sofrer muito com a resistência do ar. Não dá muito certo por exemplo soltar uma pena. Obviamente, todos estes cálculos desprezam a resistência do ar na queda do objeto.

Uma razão chamada percentagem

A percentagem ou porcentagem, do latim "per centum" (por cento), é uma razão com o consequente sendo o número 100, também chamada de razão centesimal. É um modo de expressar uma razão entre dois valores verdadeiros a partir de uma fração com denominador igual a 100.

A taxa percentual, ou percentagem, pode ser representada de três formas: com o símbolo "%", sob a forma de fração ou sob a forma de um numeral decimal. Por exemplo: 70% = 70/100 = 0,70.

A percentagem é sempre obtida de uma proporção, onde a razão de base 100 é igualada à razão dos números verdadeiros. Por exemplo, se o imposto sobre o salário for 22,5%, a proporção é como exibida abaixo:

Para o cálculo de qualquer valor de uma proporção basta realizar a multiplicação em cruz. A incógnita pode ser tanto a própria percentagem como algum valor da razão dos números verdadeiros.

Veja alguns exemplos de cálculos envolvendo percentagens:

Quanto é 12% de 1500?

O número 660 refere-se a quantos porcento de 880?

Qual é o resultado de 2500 mais 15%?

Se o valor aumentou 15% então o valor final é 115% do valor inicial, sendo assim:

Qual é o resultado de 3500 menos 25%?

Se o valor diminuiu 25% então o valor final é 75% do valor inicial, sendo assim:

Houve um aumento de 80 para 100, qual a porcentagem deste aumento?

De 80 para 100 o valor subiu 20, sendo assim:

Houve uma redução de 85 para 79, qual a porcentagem desta redução?

De 85 para 79 o valor diminuiu 6, sendo assim:

Em 500ml foi adicionado 300ml, qual a porcentagem do novo volume em relação ao volume inicial?

O valor final agora é 800ml, sendo assim:

Em 250ml foi retirado 50ml, qual a porcentagem do novo volume em relação ao volume inicial?

O valor final agora é 200ml, sendo assim:

Para agilizar alguns cálculos pode-se usar um fator de multiplicação. Para obter tantos porcentos de um valor basta multiplicar o valor com a taxa percentual em notação decimal. Por exemplo, 35% de 1800 é igual a 1800 vezes 0,35. Se fosse acrescentar 35% aos 1800 então o cálculo seria 1800 vezes 1,35 (os 100% mais 35%).

No caso de um decréscimo, o fator de multiplicação será "1 - taxa de desconto", também na forma decimal. Por exemplo, descontando 10% do valor 350 o resultado é 350 vezes 0,90 (1 menos 0,10).

Fórmulas para o cálculo do desvio padrão

Em estatística, o desvio padrão é um valor que quantifica a dispersão dos dados em torno da média. Basicamente é a média quadrática das diferenças entre o valor de cada dado e a média.

O desvio padrão, dentre as medidas de dispersão, é o mais utilizado pois seu valor está na mesma unidade de medida dos dados e então pode descrever mais claramente a quantidade de dispersão na distribuição da frequência.

A fórmula para o cálculo do desvio padrão possui algumas variantes. As que apresento aqui: uma utiliza as diferenças entre o valor de cada dado e a média, isto é, o desvio médio; e a outra, que mostro em duas versões, utiliza somente os valores dos dados. Em todos os casos é apresentado o cálculo para população e para amostra, para dados não agrupados ou agrupados em frequências.

Desvio padrão com base na população para dados não agrupados:

Desvio padrão com base na população para dados agrupados:

Desvio padrão com base em uma amostra para dados não agrupados:

Desvio padrão com base em uma amostra para dados agrupados:

Para calcular o desvio padrão com estas fórmulas, uma dica é montar uma tabela efetuando cada passo do cálculo e assim usar os somatórios para compor a fórmula, fica muito mais fácil.

Por exemplo, na tabela abaixo a coluna x contém os valores dos dados e a coluna w contém os respectivos pesos. A média (M) destes dados é igual a 5,56. Os somatórios das fórmulas para dados agrupados estão calculados na última linha:

        x     w    x*w    x-M   (x-M)²  (x-M)²*w   x²   x²*w

        7     6    42    1,44    2,06    12,37     49    294
        4     7    28   -1,56    2,45    17,12     16    112
        8     3    24    2,44    5,93    17,8      64    192
        6    12    72    0,44    0,19     2,28     36    432
        3     2     6   -2,56    6,57    13,15      9     18
        5     9    45   -0,56    0,32     2,86     25    225

Soma         39   217                    65,59          1273

Para estes dados acima, o desvio padrão com base na população é igual a 1,297 e com base em uma amostra é 1,314.

Integração é a operação inversa da derivação

O Cálculo é usualmente dividido em duas partes principais, cálculo diferencial e cálculo integral, sendo que cada uma tem sua própria terminologia não-familiar, notação e métodos computacionais especializados.

Quase todas as idéias e aplicações do Cálculo giram em torno de dois problemas geométricos que são muito fáceis de ser entendidos. O problema básico do cálculo diferencial é o problema das tangentes, calcular o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico num ponto dado P. O problema básico do cálculo integral é o problema das áreas, calcular a área debaixo do gráfico entre os pontos x = a e x = b. Ambos se referem ao gráfico de uma função y = f(x) qualquer, como na figura abaixo:


Com o cálculo diferencial é possível, dada uma curva, achar o coeficiente angular de sua tangente ou, de modo equivalente, dada uma função, achar sua derivada. Com o cálculo integral é possível encontrar a área sob uma curva ou, dada a função, achar sua integral.

Entretanto existem muitos problemas de geometria e física que dependem de "derivação para trás" ou "antiderivação", às vezes chamado de inverso das tangentes pois dada a derivada de uma função é possível achar a própria função. Isto é a definição da primitiva pelo Teorema Fundamental do Cálculo, visto que trabalhando com as mesmas regras de derivação, usando-as no sentido contrário levam em particular à integração. Assim pode-se dizer que a derivação e a integração possuem sentidos inversos. Abaixo alguns exemplos:


O processo de antiderivação, que retorna a primitiva, é uma integral indefinida e na solução adota-se o acréscimo de uma constante qualquer ao resultado. Isto se deve pelo motivo de que uma derivada pode ter várias primitivas. Por exemplo:

Está o nosso cérebro fazendo constantemente cálculos subconscientes?

Este artigo foi publicado na revista Scientific American Mind, edição de Novembro de 2009:

O nosso cérebro é conectado para executar cálculos que nos permitem decidir o quanto distante está um objeto quando nós andamos ou saltamos por cima, ou estendemos a mão por um copo de leite. Ainda que esta tarefa possa parecer fácil, esta tarefa ativa um profundo cálculo surpreendentemente complexo.

Quando nós olhamos um objeto, os nossos olhos projetam a estrutura tridimensional dentro da retina bidimensional. Para ver em três dimensões, o nosso cérebro precisa reconstruir o mundo tridimensional vindo da imagem bidimensional da retina. Nós temos aprendido a distinguir a profundidade usando uma variedade de sinais visuais, umas envolvendo somente um olho (visão monocular) e outras envolvendo ambos os olhos (visão binocular).

A visão binocular proporciona uma percepção mais precisa da profundidade, permitindo-nos distinguir pequenas diferenças entre as imagens de ambas retinas, enquanto que a visão monocular nos proporciona um largo campo de visão. A oclusão, que é um sinal monocular segundo o qual um objeto que está próximo obstrui parcialmente um outro mais distante, permite o cérebro distinguir as distâncias relativas. Quando um objeto obstrui um outro, o observador pode graduar as distâncias relativas destes objetos.

Uma outra sinalização monocular é a paralaxe, a qual ocorre quando o observador move seu corpo (ou somente sua cabeça) para obter informações sobre a distância relativa entre os objetos. Pelo movimento da cabeça para trás e para frente, este movimento permite ver os objetos por ângulos levemente diferentes. Um objeto próximo se moverá mais rapidamente diante da retina (criando uma ampla paralaxe) do que um objeto distante, permitindo determinar qual objeto está mais próximo. Quando está dirigindo um veículo, por alguns instantes, as coisas mais próximas passam mais rapidamente e os objetos mais distantes parecem imóveis.

Embora o nosso circuito cerebral seja geneticamente programado para distinguir profundidades vindas da visão, isto necessita alguma experiência para calibrá-lo. Inicialmente as crianças são ruins em distinguir as distâncias, mas com o tempo elas treinam seus cérebros para realizar tal cálculo. Os adultos se tornam experientes em distinguir profundidades mas somente com os objetos familiares no meio ambiente. Em um território desconhecido, a distinção automática da profundidade falha porque nosso cérebro ainda não possui novos sinais calibrados do ambiente. Diante destes novos cenários, nós temos que treinar novamente nosso cérebro para calcular as distâncias.

Como fazer conversões de unidades de medida

Uma unidade de medida é uma quantidade específica de determinada grandeza física usada para servir de padrão para outras medidas. Existem diferentes unidades de medida e, para citar algumas, as mais comuns no nosso dia a dia são as unidades usadas para medir as grandezas de área, comprimento, massa, temperatura, tempo, velocidade e volume.

Cada grandeza pode conter mais de uma unidade de medida, por exemplo o comprimento pode ser medido em metros, em jardas, em milhas etc. E entre as unidades de medida das grandezas existe sempre um valor de correspondência para a conversão.

Para efetuar a conversão entre duas unidades devemos saber qual o fator de equivalência. Por exemplo, na grandeza de comprimento temos que 1 polegada é igual a 0,0254 metro, ou 2,54 centímetros, então 2 polegadas em centímetro será 2 vezes 2,54. Uma simples regra de três.

No sentido inverso o fator será outro. No exemplo da conversão de metro para polegada, se não tivermos a informação do fator, o seu cálculo será a divisão de 1 por 0,0254. Como resultado obteremos que 1 metro equivale a 39,37 polegadas. Assim agora basta aplicar novamente a regra de três, por exemplo 0,5 metros em polegadas é igual a 0,5 vezes 39,37, o que dá 19,69 polegadas.

Aprofundando um pouco mais no assunto, sempre teremos os dois fatores que poderão ser utilizados em ambos os sentidos da conversão, considere a situação:

1 polegada = 0,0254 metro
1 metro    = 39,37 polegadas

O cálculo de conversão de 2 polegadas em metro pode ser 2 vezes 0,0254, como visto anteriormente, ou pode também ser 2 dividido por 39,37. Ambos os resultados são 0,0508 metro. E no cálculo de 0,5 metros em polegadas pode ser 0,5 vezes 39,37 ou também 0,5 dividido por 0,0254. Ambos os resultados são 19,69 polegadas.

Sempre é uma regra de três que utilizamos para efetuar o cálculo da conversão, o que muda é a posição da incógnita de acordo com as informações que temos. Existem diversos softwares e calculadoras que facilitam a conversão, mas é bom saber como se faz.

Segue uma pequena listagem das equivalências entre algumas unidades de medida:

Medidas de comprimento:

1 metro    = 0,00062137119 milha
           = 1,0936133 jardas
           = 3,2808399 pés
           = 39,370079 polegadas

1 milha    = 1609,344 metros
           = 1760 jardas
           = 5280 pés

1 jarda    = 0,9144 metro
           = 3 pés
           = 36 polegadas

1 pé       = 0,3048 metro
           = 0,33333333 jarda
           = 12 polegadas

1 polegada = 0,0254 metro
           = 0,083333333 pé

Medidas de área:

1 acre                = 4046,8726 metros quadrados
                      = 0,40468726 hectares

1 hectare             = 10000 metros quadrados
                      = 0,4132231 alqueire (paulista)
                      = 2,4710439 acres

1 alqueire (paulista) = 24200 metros quadrados
                      = 2,42 hectares

1 metro quadrado      = 0,0000413 alqueire (paulista)
                      = 0,0001 hectare
                      = 0,00024710439 acre

Medidas de volume:

1 barril (us) = 158,98729 litros
              = 42 galões (us)

1 galão (us)  = 3,7854118 litros
              = 0,023809524 barril (us)
              = 128 onças (us)

1 onça (us)   = 0,02957353 litro
              = 0,0078125 galão (us)

1 litro       = 0,0062898108 barril (us)
              = 0,26417205 galão (us)
              = 33,814023 onças (us)

Medidas de massa:

1 libra      = 0,45359237 quilograma
             = 16 onças

1 onça       = 0,028349523 quilograma
             = 0,0625 libra

1 quilograma = 2,2046226 libras
             = 35,273962 onças

A centróide de um polígono

A centróide é o ponto no interior de uma figura geométrica que define o centro geométrico. Se a figura geométrica possui um corpo de densidade uniforme então a centróide coincide com o centro de massa e se a figura geométrica está submetida a um campo gravitacional então este ponto coincide com o centro de gravidade.

A centróide de um polígono fechado, não sobreposto e definido por n vértices, pode ser calculado utilizando uma fórmula que recebe as coordenadas dos vértices e sua área. Então antes de se calcular a centróide por esta fórmula é necessário calcular a área do polígono.

O cálculo para determinar a área de um polígono utiliza uma fórmula bastante simples. Considere um polígono feito com segmentos de reta entre n vértices (xi,yi), com i=0 até n-1. O último vértice (xn,yn) é assumido para ser o mesmo que o primeiro (x0,y0), isto é, o polígono está fechado.

A área é dada pela fórmula:


O sinal da área pode ser usado para determinar a ordem dos vértices do polígono. Se o sinal é positivo então os vértices estão ordenados no sentido contra o relógio, de outra forma, se o sinal é negativo então os vértices estão ordenados no sentido do relógio.

Para os cálculos das coordenadas da centróide utilizam-se as fórmulas abaixo:


Vejamos então um exemplo. Abaixo é apresentado um gráfico com um polígono e seus vértices estão nas coordenadas (1,3),(7,2),(10,0),(11,5),(8,7) e (3,6). Vamos calcular as coordenadas da centróide.


Aplicando a fórmula do cálculo da área temos:

A = ((1*2-7*3) + (7*0-10*2) + (10*5-11*0) + (11*7-8*5) + (8*6-3*7) + (3*3-1*6))/2 = 39

A coordenada x da centróide é o resultado da expressão abaixo:

Cx = ((1+7)*(1*2-7*3) + (7+10)*(7*0-10*2) + (10+11)*(10*5-11*0) + (11+8)*(11*7-8*5) + (8+3)*(8*6-3*7) + (3+1)*(3*3-1*6))/(6*39) = 6,7

E a coordenada y da centróide é o resultado da expressão abaixo:

Cy = ((3+2)*(1*2-7*3) + (2+0)*(7*0-10*2) + (0+5)*(10*5-11*0) + (5+7)*(11*7-8*5) + (7+6)*(8*6-3*7) + (6+3)*(3*3-1*6))/(6*39) = 4,0

Assim a centróide deste polígono está na coordenada x = 6,7 e y = 4, já mostrado no desenho do polígono acima.

Cálculo do número Pi

O número Pi é definido como sendo o valor da razão de comprimento da circunferência pelo diâmetro, assim Pi = c/2r. Trata-se de um número irracional pois não se pode expressar como quociente de dois números inteiros e é expresso por uma dízima infinita que não apresenta comportamento periódico. É representado pela letra grega π.

Nas civilizações antigas, acerca de 4000 anos atrás, já se conheciam a razão entre o perímetro e o diâmetro de qualquer círculo e desde alguns séculos antes de Cristo o número Pi vem sendo calculado pelos matemáticos buscando-se um número cada vez maior de casas decimais. O primeiro matemático a investigar o número Pi foi Archimedes (287-212 a.C.). Ele construiu polígonos regulares inscritos e circunscritos em uma circunferência e calculou o perímetro destes polígonos, quanto mais lados ele colocava no polígono, melhor ficava a aproximação. Usando um polígono de 96 lados, Archimedes descobriu que Pi ficava entre 3,140845 e 3,142857. Uma fração que muito se aproxima do valor de Pi, com um erro menor que 10^-6, é 355/113. A irracionalidade de Pi foi demonstrada em 1761 por Johann Heinrich Lambert.

Atualmente com a ajuda dos computadores já é possível determinar o número Pi com centenas de milhões de casas decimais. Em Setembro de 2002, Yasumasa Kanada atinge a marca de 1,24 trilhão de casas decimais, usando um conjunto de 64 supercomputadores Hitachi SR8000/MPP na forma de cluster, que trabalharam por 602 horas transferindo 400 terabytes de dados, na Universidade de Tóquio.

Abaixo veremos alguns métodos usados para o cálculo desde a sua origem histórica até os anos atuais:

Liu Hui 265 a.C.:


Zu Chongzhi 480:


Newton 1676:


Madhava - Leibniz 1682:


Machin 1706:


Euler 1738:


Gauss:


Störmer 1896:


Ramanujan 1914:


Takano 1982:


David Chudnovsky e Gregory Chudnovsky 1987:


David Bailey, Peter Borwein e Simon Plouffe 1997:


O número Pi com mil dígitos é:

3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494459230781\
6406286208998628034825342117067982148086513282306647093844609550582231\
7253594081284811174502841027019385211055596446229489549303819644288109\
7566593344612847564823378678316527120190914564856692346034861045432664\
8213393607260249141273724587006606315588174881520920962829254091715364\
3678925903600113305305488204665213841469519415116094330572703657595919\
5309218611738193261179310511854807446237996274956735188575272489122793\
8183011949129833673362440656643086021394946395224737190702179860943702\
7705392171762931767523846748184676694051320005681271452635608277857713\
4275778960917363717872146844090122495343014654958537105079227968925892\
3542019956112129021960864034418159813629774771309960518707211349999998\
3729780499510597317328160963185950244594553469083026425223082533446850\
3526193118817101000313783875288658753320838142061717766914730359825349\
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