Conversão entre coordenadas geográficas e UTM

O sistema de coordenadas geográficas expressa a posição de um ponto na superfície esférica do globo. Um exemplo desta coordenada são os valores -23,653492 graus de latitude e -47,235703 graus de longitude. O sistema de coordenadas UTM expressa a posição de um ponto em uma projeção plana do globo terrestre. Um exemplo desta coordenada são os valores X 271960,000 (Easting), Y 7382350,200 (Northing), Fuso 23 (Zone), Hemisfério Sul e Elipsoide WGS84 (datum).

As coordenadas podem ser convertidas de um sistema para o outro. Existem uma série de fórmulas, longas e volumosas mas não difíceis de compreender, que convertem uma coordenada do sistema de coordenadas geográficas para o sistema de coordenadas UTM e vice-versa. As fórmulas são baseadas nas propriedades do elipsoide, na geometria do elipsoide de revolução, que serve como referência no posicionamento geodésico.

Com o intuito de tornar este artigo o mais simples possível na execução da conversão, a teoria sobre a geometria do elipsoide de revolução não está demonstrada, muito menos a origem das fórmulas. Ainda, este artigo não trata da coordenada de altitude.

Uma informação importante nos valores de uma coordenada no sistema UTM é sobre o elipsoide de referência. O elipsoide de referência serve para representar matematicamente a superfície terrestre, na forma de um elipsoide de revolução, e assim executar os cálculos e definir as coordenadas. Um dos elipsoides de referência, ou datum, mais usados é o WGS84 e é o que está sendo usado neste artigo. Conhecer o datum é importante porque, nos cálculos, as fórmulas adotam alguns valores (parâmetros) constantes e estes valores estão definidos no datum.

Assim, por exemplo, pela coordenada UTM apresentada no primeiro parágrafo deste artigo, vemos que o datum é o WGS84. Desta forma, nos cálculos desta coordenada são necessários os parâmetros do elipsoide WGS84. O relatório técnico número 8350.2 (3ª edição) da Agência Nacional de Informação Geoespacial, do Departamento de Defesa dos Estados Unidos, define os valores (parâmetros) constantes do elipsoide WGS84, que são:

- Raio Equatorial (semi-eixo maior do elipsoide) em metros:

- Achatamento polar:

Destes parâmetros, derivam-se as seguintes constantes geométricas, que também são utilizadas nos cálculos:

- Raio Polar (semi-eixo menor do elipsoide) em metros:

- Primeira Excentricidade:

- Primeira Excentricidade ao Quadrado:

- Segunda Excentricidade:

- Segunda Excentricidade ao Quadrado:

Outro detalhe é que os graus de latitude e longitude, nestes cálculos, são usados em notação decimal. Se estiverem em notação sexagesimal, o artigo "Conversão de grau decimal e sexagesimal" (http://dan-scientia.blogspot.com.br/2012/12/conversao-de-grau-decimal-e-sexagesimal.html) pode ser útil.

Ainda em relação a latitude e longitude, além dos valores em graus decimais também são necessários os valores em radianos. A conversão de graus decimais para radianos é feita com o uso das fórmulas a seguir. Neste artigo, a latitude e a longitude em graus decimais estão representadas respectivamente por "lat" e "long", e em radianos estão representadas respectivamente pelas letras gregas phi "φ" e lambda "λ".

Mais alguns valores são utilizados nas fórmulas dos cálculos:

A latitude de origem, que no UTM padrão é zero.

O fator de escala no meridiano central do fuso, para garantir um modelo mais favorável de deformação em escala ao longo do fuso.

Os valores de falso norte, que será adotado um ou outro dependendo da posição, se está no hemisfério norte ou sul, e o valor para o falso leste, sendo o valor do meridiano central do fuso. Estes valores são adotados para evitar números negativos. Os graus em notação decimal são indicados com o sinal - (negativo) quando na latitude sul (hemisfério sul) ou na longitude oeste.

Conversão de coordenada geográfica para coordenada UTM

Nesta conversão, iremos obter os valores de Easting (x), Northing (y) e o fuso, a partir da coordenada geográfica, utilizando o datum WGS84.

O fuso UTM (zone) é dado pela fórmula:

E o meridiano central do fuso, que não é um item da coordenada mas será usado nos cálculos de ambas as conversões, é dado pela fórmula:

Na obtenção dos valores de Easting e Northing começam os cálculos pesados. As fórmulas para o cálculo das coordenadas Easting e Northing são compostas de diversos termos. Para que as fórmulas não fiquem extremamente extensas, podemos resolver estes termos realizando cálculos intermediários.

O cálculo de M, comprimento do arco de meridiano, que é a distância vertical ao longo da superfície terrestre partindo do Equador até o ponto, é feito com as fórmulas (séries) a seguir. A latitude está em radianos.

Outros cálculos intermediários devem ser feitos, também relacionados as propriedades do elipsoide, como o raio da curvatura na primeira vertical ou grande normal (N).

Por fim, as fórmulas para obtenção dos valores em metros de Easting (x) e Northing (y). Os valores obtidos nos cálculos intermediários devem ser substituídos nas fórmulas a seguir.

Na anotação desta coordenada deve-se, além dos valores de x, y e fuso, incluir o hemisfério e o datum.


Conversão de coordenada UTM para coordenada geográfica

Nesta conversão, iremos obter os valores de latitude e longitude, a partir da coordenada UTM (x, y e fuso), utilizando o datum WGS84. Alguns valores utilizados serão os mesmos da conversão inversa, incluindo as constantes geométricas, a latitude de origem e o fator de escala no meridiano central do fuso.

As fórmulas para o cálculo das coordenadas geográficas também são compostas de diversos termos. Assim, da mesma forma, para que as fórmulas não fiquem extremamente extensas, podemos resolver estes termos realizando cálculos intermediários.

O cálculo de M, comprimento do arco de meridiano, que é a distância vertical ao longo da superfície terrestre partindo do Equador até o ponto, é feito com a fórmula a seguir.

O cálculo da "footprint latitude", que é a latitude do ponto no meridiano central do fuso que possui a mesma latitude, ou comprimento do arco de meridiano, que o ponto que está sendo convertido.

E mais estes termos intermediários, calculados para "footprint latitude".

Finalmente, as fórmulas para obtenção dos valores da latitude (φ) e longitude (λ). Os valores obtidos nos cálculos intermediários devem ser substituídos nas fórmulas a seguir.

A notação decimal destas coordenadas são obtidas com as fórmulas a seguir.

A conversão entre coordenadas geográficas e UTM não é tão complicada mas requer muitos cálculos. Um software matemático ou uma planilha eletrônica ajuda na velocidade de todos os cálculos, além do mais, já existem muitos sites e aplicativos que fazem estas conversões. O propósito deste artigo é somente mostrar as fórmulas, de forma simplificada pois algumas são séries.

Para mais informações sobre o UTM, leia o artigo "O Sistema de Coordenadas UTM" (http://dan-scientia.blogspot.com.br/2013/04/o-sistema-de-coordenadas-utm.html).

Bibliografia recomendada:

National Imagery and Mapping Agency Technical Report 8350.2, Department of Defense World Geodetic System 1984, Its Definition and Relationships with Local Geodetic Systems, Third Edition, January 2000.

SNYDER, J.P., Map Projections A Working Manual, U.S. Geological Survey Professional Paper 1395, Supersedes USGS Bulletin 1532, United States Government Printing Office, Washington, 1987.

O Sistema de Coordenadas UTM

O UTM (Universal Transversa de Mercator) é um tipo de projeção e de sistema de coordenadas no plano. É utilizado na cartografia, um importante campo de aplicação da geodésia, para dar a localização de um ponto na superfície terrestre. O UTM é baseado no modelo elipsoidal da Terra e é um dos mais utilizados no mundo.

A geodésia é a ciência que estuda a forma, a dimensão da Terra, o campo gravitacional, o espaço-tempo tridimensional e os fenômenos geodinâmicos como rotação da Terra, marés e movimentos da crosta terrestre.

A forma da Terra foi representada inicialmente por uma esfera, Pitágoras e Aristóteles foram os primeiros que expressaram esta ideia. No século 17, Newton demonstrou que o conceito de uma Terra esférica era inadequado e representou a Terra como um elipsoide de revolução, onde o eixo equatorial era maior do que o eixo polar e assim a Terra era achatada nos polos. No século 19, Laplace, Gauss e outros afirmaram que o modelo elipsoidal não era convincente e então surgiu a forma de geoide para a superfície terrestre. O geoide é uma superfície equipotencial do campo de gravidade da Terra que coincide com o nível médio dos mares. O geoide se estende através dos continentes em uma forma ondulada, se aproximando da topografia terrestre.

Os modelos de representação da Terra, com a topografia, elipsoide e geoide.

Apesar do geoide ser o modelo mais próximo do verdadeiro formado da Terra, em geodésia utiliza-se um elipsoide de referência para representar matematicamente a superfície terrestre. O modelo matemático da Terra é denominado "datum". O elipsoide de referência torna bem mais simples a execução dos cálculos e definição das coordenadas e elevação. Atualmente, um dos elipsoides de referência, ou datum, mais usados é o WGS84, servindo como base ao Sistema de Posicionamento Global (GPS).

A Cartografia é o conjunto de estudos e operações científicas, técnicas e artísticas utilizados na elaboração de mapas, cartas e outras formas de representação de objetos. O mapa é a representação no plano, em pequena escala, dos aspectos geográficos de uma área na superfície de um objeto planetário. Diferentemente, a carta é a representação em média ou grande escala, para possibilitar a avaliação dos detalhes.

Para elaborar um mapa é necessário determinar um método no qual cada ponto na superfície terrestre corresponda a um ponto no plano e vice-versa. Existem diversos métodos e estes métodos são chamados sistemas de projeções. Um sistema de projeção adota um modelo matemático do planeta e relaciona os pontos estabelecendo uma escala e um sistema de coordenadas.

Projeção cilíndrica transversa, o eixo do cilindro está perpendicular ao eixo da Terra.

As projeções cartográficas são classificadas de diversas formas. Quanto a superfície de projeção temos a cilíndrica, que é utilizada no sistema UTM na posição transversal, em relação à superfície de referência. Na posição transversal, o eixo do cilindro está perpendicular ao eixo da Terra.

Quanto ao tipo de contato entre as superfícies de projeção e referência, o sistema UTM adota a secante, onde a superfície de projeção secciona a superfície de referência. Isto vem da atribuição do fator de escala k = 0,9996 ao meridiano central do sistema UTM, que garante um modelo mais favorável de deformação em escala ao longo do fuso. Limitando o erro de escala em 1/2500 no meridiano central e 1/1030 nos extremos do fuso.

Fuso ou Zona UTM, com 6° de extensão longitudinal e seu meridiano central.

No sistema UTM a Terra é dividida em 60 fusos, ou zonas, com 6° de extensão de longitude e os fusos são numerados de 1 a 60, crescente no sentido leste a partir do fuso 180°, a 174° oeste de Greenwich. Isto é, o fuso 1 vai de 180°O até 174°O, o fuso 2 vai de 174°O até 168°O e assim sucessivamente. Cada fuso é prolongado em 30' sobre os fusos adjacentes, criando uma área de sobreposição de 1°.

O sistema UTM é utilizado somente entre as latitudes 84° ao norte e 80° ao sul. Cada fuso é segmentado em 20 faixas com 8° de extensão de latitude. São dez faixas no hemisfério norte e dez faixas no hemisfério sul. Embora não ser essencialmente adotado no UTM e sim no MGRS, uma derivação militar do UTM, as faixas são designadas por letras de C, a partir de 80°S, até X, que termina em 84°N. As letras I e O não são usadas por causa da similaridade com os números 1 e 0. A letra N é a primeira faixa do hemisfério norte, adotada por causa do "n" de norte.

O mapa UTM, com a identificação dos fusos, faixas e graus.

Os quadriculados das zonas são uniformes em todo o globo, com exceção em duas áreas. O quadriculado 32V está estendido para alcançar toda a Noruega e assim o quadriculado 31V está recuado. Os quadriculados 31X, 33X, 35X e 37X estão estendidos para cobrir a região da Esvalbarda, também pertencente à Noruega, assim os quadriculados 32X, 34X e 36X não são usados.

O ponto de origem de cada fuso é a intersecção do Equador com o meridiano central do fuso. Para evitar números negativos, é adotado o valor de 500.000 metros para o meridiano central do fuso, na linha ao longo do Equador. Os fusos possuem um alcance longitudinal de 167.000 a 833.000 metros, na altura do Equador, reduzindo em direção aos polos. Justificando os números, a Terra possui aproximadamente 40.000.000 metros de circunferência, então os fusos tem 666.666 metros de extensão longitudinal.

No hemisfério norte as posições são medidas para o norte partindo do zero ao Equador até 9.300.000 metros na latitude 84°N, na linha ao longo do meridiano central. No hemisfério sul as posições são medidas para o sul partindo do 10.000.000 metros ao Equador até 1.100.000 metros na latitude 80°S, na linha ao longo do meridiano central. Assim, nenhum ponto recebe um valor negativo.

A posição na Terra é dada pelo número do fuso (zona), as coordenadas Este (Easting) e Norte (Northing) explicitamente nesta ordem, e o hemisfério. A coordenada Este também pode ser descrita por X e a coordenada Norte por Y. Abaixo um exemplo de coordenada UTM:

X 271960,000 (Easting)
Y 7382350,200 (Northing)
Fuso 23 (Zone)
Hemisfério Sul
Elipsoide WGS84 (datum)

A coordenada acima, dada como exemplo, indica que o ponto está no fuso 23, no Hemisfério Sul, a 228.040 metros a oeste do meridiano central do fuso (500.000 - 271.960) e a 2.617.649,8 metros ao sul do Equador (10.000.000 - 7.382.350,2). O datum será útil no cálculo de conversão entre sistemas de coordenadas.

O sistema de coordenadas UTM é o sistema mais usado em projeções planas do globo terrestre. As coordenadas geográficas, em graus de latitude e longitude, são usadas na superfície esférica do globo. É possível realizar a conversão entre os sistemas, será visto em um próximo artigo.

Conversão de grau decimal e sexagesimal

A posição de um ponto na superfície terrestre pode ser expressa pelas coordenadas geográficas. A latitude, que vai de zero à 90 graus, e a longitude, que vai de zero à 180 graus, possui basicamente duas notações, o grau em notação decimal ou o grau em notação sexagesimal.

A notação decimal é a forma numérica na qual estamos mais acostumados, o grau pode ser expresso por um número não inteiro. Um exemplo, no caso uma latitude, é -23,62463499 graus, um simples número decimal. O sinal negativo indica a latitude Sul, se fosse longitude indicaria o Oeste.

A notação sexagesimal é dada, em uma forma bem precisa, em grau, minuto e segundo. Com os minutos e segundos indo de zero à 60. Esta última unidade de medida, em segundo, pode receber um número não inteiro, e da mesma forma o minuto, caso se omita a unidade de segundo. A latitude e longitude para a notação sexagesimal é comumente indicada pelas letras de Norte-Sul-Leste-Oeste, ao invés do sinal negativo ou positivo. Um exemplo de latitude é 23° 37' 28,686" S.

É possível converter os números dentre as notações de grau decimal e sexagesimal. A notação decimal é facilmente obtida a partir da notação sexagesimal com o uso da seguinte fórmula:

grau + minuto/60 + segundo/3600

Exemplo:

Notação sexagesimal dada: 23° 37' 28,686" S

23 + 37/60 + 28,686/3600 = -23,624635°

(Para a latitude Sul e a longitude Oeste o resultado deve receber o sinal negativo.)


Inversamente, o grau em notação sexagesimal é obtido a partir da notação decimal com os seguintes cálculos:

1) O grau é obtido com o valor absoluto da notação decimal, somente a parte inteira.

2) O minuto é obtido com o valor absoluto da parte fracionária da notação decimal multiplicado por 60, pegando somente a parte inteira deste resultado.

3) O segundo é obtido com o valor absoluto da parte fracionária da notação decimal multiplicado por 60, e multiplicando a parte fracionária deste resultado por 60.

Exemplo:

Notação decimal dada: -23,62463499°

1) 23°

2) 0,62463499 x 60 = 37,4780994  portanto 37'

3) a) 0,62463499 x 60 = 37,4780994
   b) 0,4780994 x 60 = 28,685964"

Portanto 23° 37' 28,686" S

(Se o valor da notação decimal é negativo então a latitude será Sul ou a longitude será Oeste.)

Sugestão de leitura. Saiba como calcular a distância entre coordenadas geográficas lendo o artigo em: http://dan-scientia.blogspot.com.br/2009/05/distancia-entre-coordenadas-geograficas.html

Distância entre coordenadas geográficas

As coordenadas geográficas expressam de forma exata em graus a posição de qualquer ponto na superfície do globo terrestre. O globo é dividido em latitudes que vão de 0 a 90 graus a partir da linha do Equador, separando Norte e Sul, e longitudes que vão de 0 a 180 graus a partir do meridiano de Greenwich, separando Leste e Oeste.

A medida de grau possui duas notações, grau em notação sexagesimal (grau, minuto e segundo) e grau em notação decimal. A latitude e longitude para a notação sexagesimal é indicada pelas letras de Norte-Sul-Leste-Oeste, em notação decimal é indicada com o sinal - (negativo) a latitude sul ou a longitude oeste. Exemplo: 48°45'51,01"Oeste = -48,7641694444444.

A circunferência média do globo terrestre mede aproximadamente 40.030,20 quilômetros, dividindo por 360 conclui-se que o grau equivale a 111,19 km. Dividindo um grau por 60 temos um minuto que equivale a 1.853,25 metros e é a medida de uma milha náutica (atualmente por convenção adotou-se 1.852,00 metros). Dividindo um minuto por 60 temos um segundo que equivale a 30,88 metros. O raio médio do globo terrestre é 6371.004 km.

Antes de vermos como se calcula a distância vamos ver como se faz a conversão entre as notações de grau. A notação decimal é obtida a partir da notação sexagesimal com o uso da fórmula:

grau + minuto/60 + segundo/3600

Lembrando que para a latitude sul e a longitude oeste o resultado receberá o sinal negativo.

No sentido inverso, a notação sexagesimal é obtida a partir da notação decimal com o uso das fórmulas:

Grau = valor absoluto da notação decimal, somente a parte inteira.
Minuto = valor absoluto da parte fracionária da notação decimal multiplicado por 60, somente a parte inteira.
Segundo = valor absoluto da parte fracionária da notação decimal multiplicado por 60, e multiplicando a parte fracionária deste resultado por 60.

Se o valor da notação decimal é negativo então a latitude será sul ou a longitude será oeste.

Para o cálculo da distância é utilizado os valores em notação decimal, por isso é necessária a conversão caso as coordenadas estejam em notação sexagesimal. Sua fórmula, já com a unidade do resultado em metros, é dada abaixo:

D = ( ( ArcoCosseno( Cosseno( ( 90 - LatitudeUm ) * Pi / 180 ) * Cosseno( ( 90 - LatitudeDois ) * Pi / 180 ) + Seno( ( 90 - LatitudeUm ) * Pi / 180 ) * Seno( ( 90 - LatitudeDois ) * Pi / 180 ) * Cosseno( ABS( ( ( 360 + LongitudeUm ) * Pi / 180 ) - ( ( 360 + LongitudeDois ) * Pi / 180 ) ) ) ) ) * 6371,004 ) * 1000

LatitudeUm e LongitudeUm referem-se as coordenadas da primeira localidade e LatitudeDois e LongitudeDois referem-se as coordenadas da segunda localidade. ABS é o valor absoluto da expressão e Pi é obviamente o valor do número Pi (3,14159265). Toda a expressão é multiplicada pelo raio médio da Terra e o resultado multiplicado por 1000 para a unidade ser em metros.

A fórmula deste cálculo é baseada na lei dos cossenos da trigonometria esférica e a distância segue a linha geodésica, que é a curva de menor comprimento unindo dois pontos. Como o sistema de coordenadas terrestre é dividido em hemisférios, com os ângulos entre 0-90 e 0-180, faz-se necessário o ajuste na fórmula para estes ângulos limítrofes. E como as diferenças na altitude da superfície terrestre serem insignificantes em relação ao raio da Terra, é possível ignorar esta variação sem comprometer o resultado do cálculo. Observando que como está sendo utilizado o raio médio então os resultados para pontos próximos a linha do Equador serão subestimados e para pontos próximos aos pólos serão superestimados.