Cálculo dos períodos de forma proporcional para juros

Nas fórmulas de juros simples (J = i x n) e compostos (J = (1 + i)^n - 1) usamos o termo n para informar o número de períodos para capitalização.

Quando é necessário uma precisão no cálculo dos juros, usa-se uma forma proporcional (pro rata) na inclusão dos períodos incompletos ou fracionados. Comumente fraciona-se o período em dias (pro rata die).

Em um cálculo de aplicação de juros ao mês, para obter o n soma-se a quantidade de períodos (meses), desde que estejam completos. Para somar os períodos incompletos, os meses fracionados entram na soma na forma de razão (fração). Assim, para incluir 5 dias de um mês com 30 dias é utilizada a razão 5/30.

Por exemplo, o valor de n para representar do dia 27/01 até 26/06, em um cálculo de juros ao mês, é:

n = 4/31 + 4 + 26/30 = 4,9957 meses

Onde:

4/31 é a fração de Janeiro;
4 são os meses de Fevereiro a Maio;
26/30 é a fração de Junho.

O cálculo pro rata die é o mais utilizado e sua aplicação é recomendada quando não houver uma instrução específica em contrário.

Equivalência de taxas de juros

Para aplicar as fórmulas de cálculo dos juros simples ou compostos, a taxa e o tempo devem estar na mesma unidade, por exemplo se o número de períodos for medido em meses, a taxa de juros deve ser ao mês. Se a taxa e o tempo estiverem em unidades diferentes, é necessária a conversão para descobrir a taxa equivalente.

Duas taxas de diferentes períodos de capitalização são equivalentes, se aplicadas ao mesmo valor presente durante o mesmo período de tempo, produzem o mesmo montante final. Por exemplo, uma taxa de juros ao mês pode ser equivalente a uma taxa de juros ao ano, se aplicadas uma em 12 meses e a outra em um ano, com ambas produzindo o mesmo montante.

A lógica para a equivalência pode ser exemplificada assim:

Sendo PV aplicado por um ano a uma taxa anual ia, o montante M após 1 ano será igual a PV x (1 + ia). O mesmo PV aplicado por 12 meses a uma taxa mensal im, o montante após 12 meses será igual a PV x (1 + im)^12. Desta forma, se as taxas ia e im forem equivalentes, PV x (1 + ia) será igual a PV x (1 + im)^12. Conclui-se que 1 + ia = (1 + im)^12. Com esta fórmula podemos calcular a taxa anual equivalente a uma taxa mensal conhecida, ou vice-versa.

Sabendo quantos períodos b existem no período a, podemos aplicar a fórmula onde n é o número de períodos b em a, para obter a equivalência entre as taxas ipa e ipb:

Por exemplo, a taxa mensal im equivalente a 0,5% ao dia será:

1 + im = (1 + 0,5/100)^30
im = 0,1614  portanto i = 16,14% a.m.

Como prova, o sentido inverso:

1 + 16,14/100 = (1 + id)^30
id = 0,005  portanto i = 0,5% a.d.

Esta fórmula é indicada para juros compostos, pois em juros simples a taxa equivalente é simplesmente a multiplicação da taxa pelo número de períodos. Ex.: ia = im x 12.

Dos juros simples para os juros compostos

Usado na matemática financeira, o juro é uma taxa percentual incidente sobre um valor ou quantia numa unidade de tempo determinado. Trata-se de uma compensação ou remuneração sobre o valor inicial. Pode ser expresso em valor monetário ($) ou como uma taxa de juro (%).

No cálculo dos juros, os termos que compõem as fórmulas são os seguintes:

PV = Valor Presente (do inglês Present Value) é o valor inicial, também chamado de valor principal, valor atual, valor original ou capital;

i = Taxa de juros (do inglês Interest Rate), é a taxa aplicada numa unidade de período;

n = Número de períodos, com a unidade de medida do período sendo ao dia (a.d.), ao mês (a.m.) ou ao ano (a.a.);

M = Montante é o valor final, ou Valor Futuro (em inglês, Future Value, FV);

J = Juros, é a taxa aplicada após n períodos;

VJ = Valor dos Juros, é o valor monetário no qual representa J e que será adicionado ao valor presente para compor o montante.

Os juros podem ser calculados de duas formas, como juros simples ou juros compostos. Os juros simples incidem sobre o valor presente mas não sobre os juros dos períodos anteriores. Ocasionando uma progressão aritmética do valor. Os juros compostos incidem sobre o valor presente e também sobre os juros dos períodos anteriores, sendo juros sobre juros. O valor dos juros de cada período é incorporado ao valor presente e passa a render juros também. Ocasionando uma progressão geométrica.

Por exemplo, PV = 100,00 e taxa de juros de 10%:

Juros Simples: 100 + 30%

Juros Compostos: 100 + 33,1%

Os juros simples podem ser resolvidos por uma regra de três composta, onde o valor presente, em um período produz i, e o valor presente, em n períodos produz J:

Resolvendo a regra de três composta obtemos a fórmula para cálculo dos juros simples:

Os juros simples no final dos períodos é basicamente a taxa de juros vezes o número de períodos:

Como a taxa de juros é uma porcentagem então o número na fórmula fica expresso em uma razão centesimal:

A fórmula somente é válida quando a taxa e o tempo estiverem numa mesma unidade, por exemplo se a taxa de juros for ao mês, o número de períodos deve ser em meses.

Sabendo os juros que serão aplicados, o valor dos juros é o valor presente vezes os juros:

O montante, ou valor futuro, é o valor presente mais o valor dos juros:

Substituindo o termo VJ, sabendo que VJ = PV x i x n, então o montante também pode ser obtido por:

Exemplo prático para cálculo dos juros simples:

Qual o valor futuro de R$ 300,00 após 6 meses com juros simples de 7% a.m.?

J = 7/100 x 6 = 0,42  portanto J = 42%

VJ = 300 x 0,42 = 126  portanto VJ = R$ 126,00

M = 300 + 126 = 426  portanto M = R$ 426,00

Para os juros simples vimos que o valor dos juros é constante, acrescido período à período, calculado sempre sobre o valor inicial. Nos juros compostos o acréscimo entre cada período é calculado sobre o valor do período anterior, que atua como um montante parcial.

A fórmula para cálculo dos juros compostos pode ser deduzida a partir da fórmula dos juros simples. Demonstrando, para o primeiro período, desta forma n = 1, os juros serão:

Sabendo que J = i, VJ = PV x J e M = PV + VJ, então o montante para este primeiro período corrido será:

No cálculo dos juros compostos o primeiro montante passa a ser o valor presente do próximo período, assim, o segundo montante é o montante anterior mais o valor dos juros anterior. E substituindo os termos podemos chegar a uma fórmula simplificada:

Da mesma forma, o cálculo para o período seguinte é realizado usando o segundo montante para ser o valor presente do terceiro período:

Podemos perceber, pela identificação do período e pela potência, que a fórmula para o cálculo do montante final nos juros compostos, após todos os períodos, com n sendo o número de períodos, é:

A fórmula para o cálculo dos juros compostos pode ser dada por uma das seguintes simplificações:

Se M = PV x (1+i)^n e VJ = M - PV = PV x J, então:

Ou se M = PV + VJ, M = PV x (1+i)^n e VJ = PV x J, então:

Em ambas as simplificações chega-se a fórmula para juros compostos:

Exemplo prático para cálculo dos juros compostos:

Qual o valor futuro de R$ 300,00 após 6 meses com juros compostos de 7% a.m.?

J = (1+7/100)^6 - 1 = 0,5007  portanto J = 50,07%

VJ = 300 x 0,5007 = 150,21  portanto VJ = R$ 150,21

M = 300 + 150,21 = 450,21  portanto M = R$ 450,21