O Paradoxo do Aniversário

O paradoxo do aniversário, ou problema do aniversário, vem da probabilidade de duas pessoas em um grupo de n pessoas terem o mesmo dia de aniversário. Para esta probabilidade considera-se o ano com 365 dias (excluindo 29 de Fevereiro), desconsideram-se gêmeos e consideram-se que todos os dias são equiprováveis para aniversário (pois na realidade a quantidade oscila com a época do ano ou dia da semana).

O paradoxo é que em um grupo de apenas 23 pessoas, a probabilidade de duas terem o mesmo dia de aniversário é de 50%. Com um grupo de 57 pessoas esta probabilidade sobe para 99%. Obviamente os 100% são atingidos com um grupo de 366 pessoas. A probabilidade parece alta demais, parece incompatível, dando esta ideia de paradoxo.

Entretanto a probabilidade está certa. A matemática prova isto. Veja:

Sendo P(A) a probabilidade de duas pessoas em um grupo terem o mesmo dia de aniversário, então P('A) é o inverso, é a probabilidade de duas pessoas não terem o mesmo dia de aniversário. A e 'A são eventos complementares e sendo P(A) e P('A) as únicas possibilidades e mutuamente exclusivas, então P(A) + P('A) = 1.

O cálculo da probabilidade, de duas pessoas em um grupo terem o mesmo dia de aniversário, fica mais fácil se calcularmos primeiro a probabilidade P('A).

A probabilidade P('A) é igual ao produto das probabilidades individuais, ou eventos, de cada pessoa. Se P('A) pode ser descrito como n eventos independentes, então P('A) = P(1) x P(2) x P(3) x ... x P(n), sendo n o número de pessoas no grupo. A probabilidade de um evento é dada por P(A) = n(A)/n(U).

Considerando que estamos calculando P('A), a primeira pessoa pode fazer aniversário em qualquer dia do ano, ou seja, em qualquer um dos 365 dias do ano. Assim P(1) = 365/365 = 1 = 100% (ou 1-0/365). A segunda pessoa pode fazer aniversário em qualquer dia exceto no dia do aniversário da primeira. Assim P(2) = 364/365 = 0,9973 = 99,73% (ou 1-1/365). A terceira pessoa pode fazer aniversário em qualquer dia exceto nos dias da primeira e da segunda pessoa. Assim P(3) = 363/365 = 0,9945 = 99,45% (ou 1-2/365).

Generalizando este processo para um grupo de n pessoas, P('A) é dada por: (com n menor que 366)

P('A) = 365/365 x 364/365 x 363/365 x ... x (365-(n-1))/365

ou

P('A) = (1-0/365) x (1-1/365) x (1-2/365) x ... x (1-(n-1)/365)


Simplificando uma ou outra equação, chega-se em:

P('A) = (365! / (365-n)!)/365^n = (365^-n x 365!)/(365-n)!


Se P(A) = 1 - P('A) então P(A) = 1 - (365!/(365-n)!)/365^n, visto isso, calcularemos a probabilidade para alguns grupos:

Para n=23: P(A) = 1 - (365!/(365-23)!)/365^23 = 0,5073 = 50,73%

Para n=57: P(A) = 1 - (365!/(365-57)!)/365^57 = 0,9901 = 99,01%

Para n=78: P(A) = 1 - (365!/(365-78)!)/365^78 = 0,9999 = 99,99%


Como podemos observar, a probabilidade é realmente grande de encontrarmos duas pessoas que façam aniversário no mesmo dia em grupos de 23 ou mais pessoas. Impressionantemente, com 78 pessoas é praticamente certo que teremos duas que façam aniversário no mesmo dia, mesmo existindo um número bem maior de possibilidades, 365 dias no ano.

O que acontece é que se apenas uma pessoa compara seu aniversário com as outras do grupo, a probabilidade é baixa, são poucas comparações. Mas se todas as pessoas comparam seus aniversários com as outras do grupo, a probabilidade aumenta consideravelmente, são muito mais comparações. E à medida que o número de pessoas do grupo aumenta, as probabilidades se multiplicam.

Saiba mais sobre probabilidades em http://dan-scientia.blogspot.com.br/search/label/probabilidade

Porque o espaço é escuro?

Esta questão que aparenta ser simples, é bastante complexa para responder. É uma questão que na história muitos cientistas já refletiram sobre, incluindo Johannes Kepler, Edmond Halley e o astro-físico alemão Heinrich Wilhelm Olbers.

Há duas coisas para se pensar sobre isto. Primeiramente, por que o céu durante o dia é azul? Esta questão é simples de ser respondida. O céu durante o dia é azul porque a luz do Sol, que está relativamente próximo à Terra, colide com as moléculas da atmosfera terrestre e dispersa-se em todas as direções. A cor azul é um resultado deste processo de dispersão. À noite, quando a parte da Terra está voltada para o lado oposto ao Sol, o espaço se mostra escuro porque não há uma fonte de luz próxima, como o Sol, para dispersar-se. Se estivéssemos na Lua, onde não há atmosfera, o céu apareceria escuro tanto à noite quanto de dia.

Agora a parte difícil. Se o universo é repleto de estrelas, por que as luzes de todas as estrelas não se somam para fazer todo o céu brilhar constantemente? Esta dúvida existe pois o universo é infinitamente largo e infinitamente velho, então supõe-se que o céu noturno deveria ser brilhante pela luz de todas as estrelas. Em qualquer direção no espaço que se olhe veremos muitas estrelas. Mesmo assim temos a verificação de um espaço escuro. Este paradoxo é conhecido como Paradoxo de Olbers. É um paradoxo por causa desta contradição entre nossa expectativa de um céu brilhante à noite e nossa verificação de que o céu é escuro.

Muitas explicações já foram postas para tentar resolver o Paradoxo de Olbers. A melhor solução até o presente é que o universo não é infinitamente velho, possui aproximadamente 15 bilhões de anos de existência. O que significa que só vemos objetos tão distantes quanto a distância percorrida pela luz em 15 bilhões de anos. As luzes das estrelas além desta distância ainda não tiveram tempo para chegar até nós e então não podem contribuir para fazer o céu brilhar.

Outra razão do céu não ser brilhante com as luzes de todas as estrelas é porque quando uma fonte de luz está se movendo para longe de nós, o comprimento da onda de luz se torna alongado. Isto significa que as ondas de luz das estrelas que estão se afastando de nós tornam-se desviadas para o vermelho, e podem ter se desviado tanto que não estão mais visíveis. O efeito Doppler também se verifica com as ondas de luz.