Funções matemáticas no Wolfram Mathematica

Combinando com o artigo "Tipografia no Wolfram Mathematica" (http://dan-scientia.blogspot.com/2012/03/tipografia-no-wolfram-mathematica.html), este artigo traz um resumo das funções matemáticas contidas no software Mathematica.
   
Para realizar um cálculo, digita-se a função desejada e pressiona-se Shift+Enter para processar o cálculo. Para cada expressão de entrada (in) é agrupada sua saída (out) em células, esta indicação fica visível na margem direita da página.

A estrutura de uma chamada à uma função segue o padrão nome_da_função[argumentos,separados,por,vírgulas]. Os argumentos (ou opções), sempre entre colchetes, podem ser valores, variáveis, expressões e até outras funções. Se os argumentos formarem uma lista, eles devem ficar entre chaves.

Avaliar numericamente a expressão: 

N[Pi, 100]                   Número Pi com 100 casas

N[E, 50]                     Número E com 50 casas

E // N                       Número E com o número de casas padrão


Funções básicas:

Sin[60 Degree]               Seno de 60 graus

Sin[60 Degree] // N          Seno de 60 graus na forma numérica

Sin[Pi/3]                    Seno de Pi/3 radianos

Cos[45 Degree]               Cosseno de 45 graus

Cos[Pi/6]                    Cosseno de Pi/6 radianos

Tan[30 Degree]               Tangente de 30 graus

Sqrt[16]                     Raiz quadrada de 16

Exp[x]                       Exponencial de x (e^x)

Power[2, 10]                 Potência de 2 elevado a 10

Log[2, 128]                  Logarítmo de 128 na base 2

Mod[5, 2]                    Resto da divisão de 5 por 2

Binomial[10, 3]              Coeficiente binomial de 10 na classe 3

Sum[i^2, {i, 2, 10}]         Somatório de i^2, com i de 2 a 10


Estatística:

Mean[{1.21, 3.4, 2.15, 4, 1.55}]                      Média

Variance[{1.21, 3.4, 2, 4.6, 1.5, 5.61, 7.2}]         Variância

StandardDeviation[{1.2, 3.4, 2, 4.6, 1.5, 5.6, 7.2}]  Desvio Padrão

Median[{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}]                         Mediana


Gera lista dos valores da expressão: 

Table[Prime[n], {n, 20}]            20 primeiros números primos

Table[Fibonacci[n], {n, 20}]        20 primeiros números de Fibonacci

Table[n!, {n, 10}]                  Fatorial de n, com n de 1 a 10

Column[Table[Binomial[n, k], {n, 0, 5}, {k, 0, n}], Center]  Triângulo de Pascal


Matriz:

Det[{{1, 2, 3}, {4, 5, 6}, {7, 8, 9}}]        Determinante

Inverse[{{u, v}, {v, u}}]                     Matriz inversa

Transpose[{{a, b, c}, {x, y, z}}]             Matriz transposta


Soluções para as variáveis:

Solve[x^2 - 5 x + 6 == 0, x]

Solve[{2 x + 2 y + 3 z == 5, x + y + 2 z == 3, 3 x + 4 y + 2 z == 0}, {x, y, z}]

NSolve[{2^2 a + 2 b + c == 0, 4^2 a + 4 b + c == 3, 6^2 a + 6 b + c == 0}, {a, b, c}]

NSolve[2^2 a + 2 b + c == 0 && 4^2 a + 4 b + c == 3 && 6^2 a + 6 b + c == 0, {a, b, c}]


Expande expressão polinomial: 

Expand[(x - 3)^2]

Expand[(x + 2)^3]


Simplifica a expressão: 

Simplify[(x - 1) (x + 1) (x^2 + 1) + 1]

Simplify[(x^2 - 8x + 16)/(x^2 - 16)]


Fatora uma expressão: 

Factor[x^2 - 7x + 10]

Factor[x^2 - 2^2]

Factor[(x^3 - 3^3)]


Limite da expressão: 

Limit[x^2 + 16, x -> 2]

Limit[(1 + x/n)^n, n -> Infinity]

f[x] := 2 x + 1
Limit[(f[x + h] - f[x])/h, h -> 0]


Derivada e Integral em x: 

D[x^2 + 16, x]

D[x^4 - 4 x^3 + 2 x^2 - 9, x]

D[x^4 - 4 x^3 + 2 x^2 - 9, {x, 2}]

Integrate[1 + 3 x, {x, 0, 2}]

Integrate[x^3 + 3 x + 1, {x, 2, 3}]

Integrate[Integrate[((x^2)/2) + 1, y], x]


Gráficos de funções (representados na figura abaixo): 

Plot[3 x + 1, {x, -2, 2}]


Plot[3 x + 1, {x, -1, 1}, AspectRatio -> Full, AxesOrigin -> {0, 0}, PlotRange -> {{-4, 4}, {-4, 4}}, AxesLabel -> {x, y}, Ticks -> {{-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4}, {-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4}}, PlotStyle -> {Thickness[0.005]}]


Plot[x^2 - 2 x + 1, {x, -4, 4}, AspectRatio -> Full, AxesOrigin -> {0, 0}, PlotRange -> {{-4, 4}, {-4, 4}}, AxesLabel -> {x, y}, Ticks -> {{-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4}, {-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4}}, PlotStyle -> {Thickness[0.005]}]


Plot[Sin[x], {x, 0, 6 Pi}, PlotStyle -> {Thickness[0.005]}]


PolarPlot[x, {x, 0, 10 Pi}]


ContourPlot[x^2 + y^2 == 1, {x, -1, 1}, {y, -1, 1}]


ParametricPlot[{Cos[x], Sin[x]}, {x, 0, 2 Pi}]


RegionPlot[x^2 + y^2 <= 1, {x, -1, 1}, {y, -1, 1}]

Gráficos das funções acima.

Gráficos em três dimensões (representados na figura abaixo): 

ParametricPlot3D[{Cos[2 t], Sin[2 t], t}, {t, 0, 2 \[Pi]}]


ParametricPlot3D[{{4 + (3 + Cos[v]) Sin[u], 4 + (3 + Cos[v]) Cos[u], 4 + Sin[v]}, {8 + (3 + Cos[v]) Cos[u], 4 + Sin[v], 4 + (3 + Cos[v]) Sin[u]}}, {u, 0, 2 Pi}, {v, 0, 2 Pi}, PlotStyle -> {Red, Green}]


ParametricPlot3D[{v Cos[u], v Sin[u], 2 v}, {u, 0, 2 Pi}, {v, 0, 1}, Mesh -> 5, BoundaryStyle -> Black, PlotStyle -> FaceForm[Red, Yellow]]


RevolutionPlot3D[{Cos[t], Sin[t]}, {t, -Pi/2, Pi/2}]


Plot3D[(x^2 + y^2) Exp[-(x^2 + y^2)], {x, -2, 2}, {y, -2, 2}]

Gráficos das funções acima.

Áudio:

Play[Sin[440 2 Pi t], {t, 0, 1}]


Sound[{SoundNote["C"], SoundNote["G"]}]


O Mathematica é um software extremamente rico de funções e comandos. Praticamente todos os cálculos matemáticos são suportados neste software. Experimente testar estes comandos, teclando após a entrada de cada um deles a combinação Shift+Enter.

Tipografia no Wolfram Mathematica

O Mathematica (http://www.wolfram.com/mathematica/) é um software matemático computacional para cálculo desde a matemática elementar até sistemas de equações complexos. Possui uma interface de entrada de expressões semelhante à notação humana. Sua completa tipografia permite a entrada de qualquer expressão e símbolo matemático.

Neste artigo apresento algumas teclas de atalhos para digitação das expressões matemáticas, em relação a caracteres especiais e símbolos da notação matemática, tabulação e expressão bi-dimensional. Analogamente, toda esta tipografia pode ser editada pelo menu "Palettes", onde encontram-se assistentes de entrada de caracteres matemáticos.

A digitação funciona da seguinte forma; em alguns casos pela combinação de duas ou mais teclas pressionadas simultaneamente, por exemplo Ctrl+7; em outros casos teclando Esc, seguido da abreviação do símbolo e concluindo com outro Esc, por exemplo Esc dd Esc. Segue a tipografia:

Expressões bi-dimensionais:

Ctrl + /                     Fração
Ctrl + 6 ou Ctrl + ^         Potência ou sobrescrito
Ctrl + 2 ou Ctrl + @         Raiz
Ctrl + 5 ou Ctrl + %         Radical da raiz
Ctrl + - ou Ctrl + _         Subescrito
Ctrl + 7 ou Ctrl + &         Escrita em cima
Ctrl + 4 ou Ctrl + $         Escrita embaixo

Símbolos de matemática básica:

Esc cross Esc                Cruz
Esc * Esc                    Vezes
Esc div Esc                  Divisão
Esc != Esc                   Diferente
Esc <= Esc                   Menor igual
Esc >= Esc                   Maior igual
Esc +- Esc                   Mais ou menos
Esc deg Esc                  Grau

Notação tabulada para o cálculo:

Esc intt Esc                 Integral indefinida
Esc dintt Esc                Integral definida
Esc dt Esc                   Derivada parcial
Esc sumt Esc                 Somatório
Esc prodt Esc                Produto

Caracteres especiais:

Esc ee Esc                   Número exponencial
Esc pi Esc                   Número pi
Esc ii Esc                   Número imaginário
Esc inf Esc                  Infinito
Esc int Esc                  Integral
Esc dd Esc                   Diferencial
Esc pd Esc                   Diferencial parcial
Esc sum Esc                  Somatório
Esc prod Esc                 Produto

Esc dsN Esc                  Números naturais
Esc dsZ Esc                  Números inteiros
Esc dsQ Esc                  Números racionais
Esc dsR Esc                  Números reais
Esc dsC Esc                  Números complexos

Símbolos de teoria dos conjuntos:

Esc el Esc                   Pertence
Esc !el Esc                  Não pertence
Esc ex Esc                   Existe
Esc !ex Esc                  Não existe
Esc sup Esc                  Contém
Esc !sup Esc                 Não contém
Esc sub Esc                  Contido
Esc !sub Esc                 Não contido
Esc fa Esc                   Para todo
Esc un Esc                   União
Esc inter Esc                Intersecção
Esc es Esc                   Conjunto vazio

Símbolos de lógica:

Esc && Esc ou Esc and Esc    E
Esc || Esc ou Esc or Esc     Ou
Esc ! Esc ou Esc not Esc     Negação
Esc nand Esc                 Nand
Esc nor Esc                  Nor
Esc xor Esc                  Xor
Esc xnor Esc                 Xnor

Esc === Esc                  Congruente
Esc => Esc                   Implica
Esc equiv Esc                Equivalente
Esc tf Esc                   Então/portanto

Isto não é tudo, existem muito mais teclas de atalhos. Além do mais, muitos símbolos somente são acessíveis pelo nome do caractere (ex. \[Because]), pelo código unicode (ex. 2235) ou pelos assistentes do menu "Palettes".

Com a expressão devidamente digitada, é possível computá-la, afinal é um software para cálculo matemático. A seguir as teclas de atalhos para computação:

Shift + Enter                Computa a expressão;
                             (ou apenas o Enter do teclado numérico)
Shift + Ctrl + Enter         Computa somente a expressão selecionada;
Alt + .                      Aborta uma computação

O ícone deste software pode ser digitado com as teclas Esc math Esc. Conheça outros softwares matemáticos em: http://dan-scientia.blogspot.com/2009/08/softwares-matematicos-poderosos.html

Tipografia matemática para páginas web

A editoração de páginas para exibição em um navegador web não é fácil quando se tenta reproduzir fórmulas matemáticas. Como estratégia é comum o uso de imagens para este tipo de exibição, porém quebrando toda integração com o texto.

Felizmente esta dificuldade tem uma solução, existe uma biblioteca em JavaScript que exibe equações matemáticas em navegadores web, usando a linguagem de marcação LaTeX ou MathML.

O MathJax (http://www.mathjax.org/) é um JavaScript de código livre capaz de exibir expressões matemáticas e é compatível com todos os navegadores modernos. Com o MathJax não é mais necessário leitores específicos, plugins ou outras fontes de caracteres instalados no navegador. Simplesmente funciona em qualquer navegador.

Usa uma versão moderna do CSS e fontes para web, ao invés de imagens ou flash, assim as expressões matemáticas podem ser ampliadas ou reduzidas junto com o texto que as acompanham. O programador web apenas incorpora o código da expressão matemática, na página em HTML, usando a linguagem de marcação LaTeX ou MathML. Os códigos convivem numa boa.

O MathJax pode ser disponibilizado para uso nas páginas de duas formas, pode ser instalado diretamente no servidor HTTP do usuário, ou pode ser usado acessando o serviço através da Rede de Entrega de Conteúdo (Content Delivery Network - CDN). Nesta última forma pode ser integrado a plataformas incluindo o Tumblr, MediaWiki, Drupal e o Wordpress.

É possível ainda copiar e colar o conteúdo, transportando a expressão matemática para editores de textos e até para softwares de cálculo como Maple e Mathematica.

Para integrar o MathJax em um serviço de blog, inclua a seguinte linha no código do tema ou do modelo de layout, que determinam a aparência das páginas:

<script type="text/javascript" src="http://cdn.mathjax.org/mathjax/latest/MathJax.js?config=default"></script>

Esta linha deve ficar entre as marcações <head> </head>, se existirem, ou no final se não existirem. Aqui no Blogger o modelo está acessível em "Design/Editar HTML"

Veja exemplos de expressões em LaTeX, representando as respectivas equações matemáticas, que podem ser incorporadas em um código fonte HTML:

\[ \left( \sum_{k=1}^n a_k b_k \right)^2 \leq \left( \sum_{k=1}^n a_k^2 \right) \left( \sum_{k=1}^n b_k^2 \right) \]

\[ \left( \sum_{k=1}^n a_k b_k \right)^2 \leq \left( \sum_{k=1}^n a_k^2 \right)
 \left( \sum_{k=1}^n b_k^2 \right) \]

\[ \frac{1}{\Bigl(\sqrt{\phi \sqrt{5}}-\phi\Bigr) e^{\frac25 \pi}} =
1+\frac{e^{-2\pi}} {1+\frac{e^{-4\pi}} {1+\frac{e^{-6\pi}}
{1+\frac{e^{-8\pi}} {1+\ldots} } } } \]

\[ \frac{1}{\Bigl(\sqrt{\phi \sqrt{5}}-\phi\Bigr) e^{\frac25 \pi}} =
1+\frac{e^{-2\pi}} {1+\frac{e^{-4\pi}} {1+\frac{e^{-6\pi}}
{1+\frac{e^{-8\pi}} {1+\ldots} } } } \]

Também dentro do parágrafo do texto. Esta expressão \(\sqrt{3x-1}+(1+x)^2\) é um exemplo de expressão na mesma linha do texto, sem atrapalhar os espaços entre as linhas.

O MathJax é um projeto conjunto da Sociedade Americana de Matemática, da Design Science Inc. e da Sociedade para Matemática Industrial e Aplicada.

Uma dica, clique com o botão direito do mouse em uma destas expressões e explore o menu do MathJax!