A matemática e o progresso humano

O avanço tecnológico e o progresso humano estão fortemente conectados ao conhecimento matemático. A percepção desta conexão é vital para o entendimento da história do homem em sua evolução. Uma das ferramentas mais importantes da matemática são as equações. As equações são modeladas nos padrões que encontramos no mundo a nossa volta e são estas equações que nos fazem entender o sentido do nosso mundo.

O recente livro do matemático inglês Ian Stewart, intitulado "17 Equações que Mudaram o Mundo", descreve a origem de algumas equações que tiveram influência na história humana. As equações vão desde o teorema de Pitágoras, passando pelas leis de Newton, as equações de Maxwell e a teoria da relatividade de Einstein. É um livro bem interessante com uma linguagem fácil.

A edição original foi lançada em 2012, a 1ª edição brasileira é de Abril de 2013 e lançada pela editora Zahar. Esta é a capa do livro:

Livros sobre jogos, enigmas e quebra-cabeças lógico-matemáticos

Segue uma "pequena" lista dos livros que tratam do mais popular gênero de passatempo, os jogos, enigmas e quebra-cabeças lógico-matemáticos.

Os desafios ou problemas lógico-matemáticos são utilizados não somente em passatempos mas também em testes de seleção para emprego, testes psicológicos, testes de inteligência etc. Estes livros serão mais do que suficientes para quem procura exercitar o cérebro e assim melhorar a capacidade mental do raciocínio lógico-matemático.

Os livros apresentados neste artigo estão todos em sua edição original, em inglês. Alguns fora de catálogo e somente encontrados em uma boa biblioteca. A Amazon contém quase todos. Vamos à lista, ao todo são 55 livros:

Título: 40 Puzzles and Problems in Probability and Mathematical Statistics
Autor: Wolfgang Schwarz
Editora: Springer
Ano: 2010

Título: 536 Puzzles and Curious Problems
Autor: Henry Ernest Dudeney
Editora: Charles Scribner's Sons
Ano: 1970

Título: Algorithmic Puzzles
Autor: Anany Levitin, Maria Levitin
Editora: Oxford
Ano: 2011

Título: American Book of Mathematical Puzzles and Diversions
Autor: Martin Gardner
Editora: The Second Scientific
Ano: 1987

Título: Ancient Puzzles: Classic Brainteasers and Other Timeless Mathematical Games of the Last Ten Centuries
Autor: Dominic Olivastro
Editora: Bantam
Ano: 1993

Título: Creative Puzzles of the World
Autor: Pieter Van Delft, Jack Botermans
Editora: Key Curriculum Press
Ano: 1993

Título: Einstein's Riddle: Riddles, Paradoxes and Conundrums to Stretch Your Mind
Autor: Jeremy Stangroom
Editora: Bloomsbury
Ano: 2009

Título: Famous Puzzles of Great Mathematicians
Autor: Miodrag S. Petkovic
Editora: American Mathematical Society
Ano: 2009

Título: Fantastic Book of Logic Puzzles
Autor: Muriel Mandell, Elise Chanowitz
Editora: Sterling Publishing
Ano: 1986

Título: Fantastic Book of Math Puzzles
Autor: Margaret C. Edmiston, Jim Sharpe
Editora: Orient Paperbacks
Ano: 1998

Título: Games and Puzzles for Elementary and Middle School Mathematics
Autor: Seaton E. Smith Jr., Carl A. Backman
Editora: NCTM
Ano: 1975

Título: Game, Set and Math: Enigmas and Conundrums
Autor: Ian Stewart
Editora: Basil Blackwell
Ano: 2007

Título: Great Book of Math Puzzles
Autor: Philip Ernest Heafford
Editora: Sterling Publishing
Ano: 1993

Título: Groovy Geometry: Games and Activities That Make Math Easy and Fun
Autor: Lynette Long
Editora: Wiley
Ano: 2003

Título: IQ Mindbenders: Over 500 Mind-bending Puzzles
Autor: Joe Cameron
Editora: Arcturus
Ano: 2007

Título: Luck Logic and White Lies: The Mathematics of Games
Autor: Jörg Bewersdorff
Editora: A K Peters
Ano: 2004

Título: Math and Logic Games: A Book of Puzzles and Problems
Autor: Franco Agostini
Editora: Facts On File
Ano: 1986

Título: Math and Logic Puzzles for PC Enthusiasts
Autor: J. J. Clessa
Editora: Dover Publications
Ano: 1996

Título: Mathematical Morsels
Autor: Ross Honsberger
Editora: Mathematical Association of America
Ano: 1979

Título: Mathematical Puzzles: A Connoisseur's Collection
Autor: Peter Winkler
Editora: A K Peters
Ano: 2003

Título: Mathematical Puzzles for Beginners and Enthusiasts
Autor: Geoffrey Mott-Smith
Editora: Dover Publications
Ano: 1954

Título: Mathematical Puzzling
Autor: A. Gardiner
Editora: Dover Publications
Ano: 2011

Título: Mathematical Recreations
Autor: Maurice Kraitchik
Editora: Dover Publications
Ano: 2006

Título: Mathematical Recreations and Essays
Autor: W. W. Rouse Ball
Editora: Macmillan
Ano: 2010

Título: Mathematics Puzzles from Around The World
Autor: Martin Gardner
Editora: ?
Ano: ?

Título: Math Games and Activities From Around the World
Autor: Claudia Zaslavsky
Editora: Chicago Review
Ano: 1998

Título: Math Logic Puzzles
Autor: Kurt Smith
Editora: Sterling Publishing
Ano: 1996

Título: Math Puzzles and Brainteasers, Grades 3-5
Autor: Terry Stickels
Editora: Jossey-Bass
Ano: 2009

Título: Math Puzzles and Brainteasers, Grades 6-8
Autor: Terry Stickels
Editora: Jossey-Bass
Ano: 2009

Título: More Mathematical Morsels
Autor: Ross Honsberger
Editora: Mathematical Association of America
Ano: 1996

Título: More Math Games and Activities From Around the World
Autor: Claudia Zaslavsky
Editora: Chicago Review
Ano: 2003

Título: More Puzzles Paradoxes and Brain Teasers
Autor: Stan Gibilisco
Editora: TAB
Ano: 1990

Título: My Best Mathematical And Logic Puzzles
Autor: Martin Gardner
Editora: Dover Publications
Ano: 1994

Título: Mystifying Math Puzzles
Autor: Steve Ryan
Editora: Sterling Publishing
Ano: 1999

Título: New Book of Puzzles: 101 Classic and Modern Puzzles to Make and Solve
Autor: Jerry Slocum, Jack Botermans
Editora: W H Freeman
Ano: 1992

Título: Problem Solving Through Recreational Mathematics
Autor: Bonnie Averbach, Orin Chein
Editora: Dover Publications
Ano: 1999

Título: Professor Hoffmann's Best Math and Logic Puzzles
Autor: Louis Hoffmann
Editora: Dover Publications
Ano: 2007

Título: Professor Stewart's Cabinet of Mathematical Curiosities
Autor: Ian Stewart
Editora: Basic Books
Ano: 2009

Título: Puzzle Craft
Autor: Stewart T. Coffin
Editora: Stewart Coffin
Ano: 1985

Título: Puzzlers' Tribute: A Feast for the Mind
Autor: David Wolfe, Tom Rodgers, Authur Clarke
Editora: A K Peters
Ano: 2001

Título: Puzzles 101: A Puzzlemasters Challenge
Autor: Nobuyuki Yoshigahara
Editora: A K Peters
Ano: 2003

Título: Puzzles in Math and Logic: 100 New Recreations
Autor: Aaron J. Friedland
Editora: Dover Publications
Ano: 1971

Título: Puzzles Old and New
Autor: Louis Hoffmann
Editora: Frederick Warne & Co
Ano: 1893

Título: Recreational Mathematics
Autor: Trent Lynch
Editora: White World
Ano: 2012

Título: Recreations in Mathematics
Autor: H. E. Licks
Editora: D. Van Nostrand
Ano: 1917

Título: Recreations in the Theory of Numbers
Autor: Albert H. Beiler
Editora: Dover Publications
Ano: 1964

Título: Riddles in Mathematics: A Book of Paradoxes
Autor: Eugene P. Northrop
Editora: D. Van Nostrand
Ano: 1964

Título: Test Your Logic: 50 Puzzles In Deductive Reasoning
Autor: George J. Summers
Editora: Dover Publications
Ano: 1972

Título: The Colossal Book of Short Puzzles and Problems
Autor: Martin Gardner, Dana Richards
Editora: W W Norton
Ano: 2005

Título: The Everything Kid's Math Puzzles Book
Autor: Meg Clemens, Sean Clemens, Glenn Clemens
Editora: Adams Media
Ano: 2003

Título: The Liar Paradox and the Towers of Hanoi: The Ten Greatest Math Puzzles of All Time
Autor: Marcel Danesi
Editora: Wiley
Ano: 2004

Título: The Master Book of Mathematical Recreations
Autor: Fred Schuh
Editora: Dover Publications
Ano: 2011

Título: The Moscow Puzzles: 359 Mathematicals Recreations
Autor: Boris A. Kordemsky
Editora: Charles Scribner's Sons
Ano: 1992

Título: Wonders of Numbers: Adventures in Mathematics, Mind and Meaning
Autor: Clifford A. Pickover
Editora: Oxford University
Ano: 2002

Título: World's Hardest Puzzles
Autor: Charles Barry Townsend
Editora: Orient Paperbacks
Ano: 1993

Tipografia matemática para páginas web

A editoração de páginas para exibição em um navegador web não é fácil quando se tenta reproduzir fórmulas matemáticas. Como estratégia é comum o uso de imagens para este tipo de exibição, porém quebrando toda integração com o texto.

Felizmente esta dificuldade tem uma solução, existe uma biblioteca em JavaScript que exibe equações matemáticas em navegadores web, usando a linguagem de marcação LaTeX ou MathML.

O MathJax (http://www.mathjax.org/) é um JavaScript de código livre capaz de exibir expressões matemáticas e é compatível com todos os navegadores modernos. Com o MathJax não é mais necessário leitores específicos, plugins ou outras fontes de caracteres instalados no navegador. Simplesmente funciona em qualquer navegador.

Usa uma versão moderna do CSS e fontes para web, ao invés de imagens ou flash, assim as expressões matemáticas podem ser ampliadas ou reduzidas junto com o texto que as acompanham. O programador web apenas incorpora o código da expressão matemática, na página em HTML, usando a linguagem de marcação LaTeX ou MathML. Os códigos convivem numa boa.

O MathJax pode ser disponibilizado para uso nas páginas de duas formas, pode ser instalado diretamente no servidor HTTP do usuário, ou pode ser usado acessando o serviço através da Rede de Entrega de Conteúdo (Content Delivery Network - CDN). Nesta última forma pode ser integrado a plataformas incluindo o Tumblr, MediaWiki, Drupal e o Wordpress.

É possível ainda copiar e colar o conteúdo, transportando a expressão matemática para editores de textos e até para softwares de cálculo como Maple e Mathematica.

Para integrar o MathJax em um serviço de blog, inclua a seguinte linha no código do tema ou do modelo de layout, que determinam a aparência das páginas:

<script type="text/javascript" src="http://cdn.mathjax.org/mathjax/latest/MathJax.js?config=default"></script>

Esta linha deve ficar entre as marcações <head> </head>, se existirem, ou no final se não existirem. Aqui no Blogger o modelo está acessível em "Design/Editar HTML"

Veja exemplos de expressões em LaTeX, representando as respectivas equações matemáticas, que podem ser incorporadas em um código fonte HTML:

\[ \left( \sum_{k=1}^n a_k b_k \right)^2 \leq \left( \sum_{k=1}^n a_k^2 \right) \left( \sum_{k=1}^n b_k^2 \right) \]

\[ \left( \sum_{k=1}^n a_k b_k \right)^2 \leq \left( \sum_{k=1}^n a_k^2 \right)
 \left( \sum_{k=1}^n b_k^2 \right) \]

\[ \frac{1}{\Bigl(\sqrt{\phi \sqrt{5}}-\phi\Bigr) e^{\frac25 \pi}} =
1+\frac{e^{-2\pi}} {1+\frac{e^{-4\pi}} {1+\frac{e^{-6\pi}}
{1+\frac{e^{-8\pi}} {1+\ldots} } } } \]

\[ \frac{1}{\Bigl(\sqrt{\phi \sqrt{5}}-\phi\Bigr) e^{\frac25 \pi}} =
1+\frac{e^{-2\pi}} {1+\frac{e^{-4\pi}} {1+\frac{e^{-6\pi}}
{1+\frac{e^{-8\pi}} {1+\ldots} } } } \]

Também dentro do parágrafo do texto. Esta expressão \(\sqrt{3x-1}+(1+x)^2\) é um exemplo de expressão na mesma linha do texto, sem atrapalhar os espaços entre as linhas.

O MathJax é um projeto conjunto da Sociedade Americana de Matemática, da Design Science Inc. e da Sociedade para Matemática Industrial e Aplicada.

Uma dica, clique com o botão direito do mouse em uma destas expressões e explore o menu do MathJax!

Produtos curiosos da matemática

Os números na matemática podem fazer muitas curiosidades. Eu encontrei estas combinações fascinantes de números em operações de multiplicação (algumas com complemento da soma). Veja o que os números podem apresentar:


1 x 7 + 3 = 10
14 x 7 + 2 = 100
142 x 7 + 6 = 1000
1428 x 7 + 4 = 10000
14285 x 7 + 5 = 100000
142857 x 7 + 1 = 1000000
1428571 x 7 + 3 = 10000000
14285714 x 7 + 2 = 100000000
142857142 x 7 + 6 = 1000000000
1428571428 x 7 + 4 = 10000000000
14285714285 x 7 + 5 = 100000000000
142857142857 x 7 + 1 = 1000000000000
...


1 x 8 + 1 = 9
12 x 8 + 2 = 98
123 x 8 + 3 = 987
1234 x 8 + 4 = 9876
12345 x 8 + 5 = 98765
123456 x 8 + 6 = 987654
1234567 x 8 + 7 = 9876543
12345678 x 8 + 8 = 98765432
123456789 x 8 + 9 = 987654321


1 x 9 + 2 = 11
12 x 9 + 3 = 111
123 x 9 + 4 = 1111
1234 x 9 + 5 = 11111
12345 x 9 + 6 = 111111
123456 x 9 + 7 = 1111111
1234567 x 9 + 8 = 11111111
12345678 x 9 + 9 = 111111111
123456789 x 9 + 10 = 1111111111


9 x 9 + 7 = 88
98 x 9 + 6 = 888
987 x 9 + 5 = 8888
9876 x 9 + 4 = 88888
98765 x 9 + 3 = 888888
987654 x 9 + 2 = 8888888
9876543 x 9 + 1 = 88888888
98765432 x 9 + 0 = 888888888


1 x 1 = 1
11 x 11 = 121
111 x 111 = 12321
1111 x 1111 = 1234321
11111 x 11111 = 123454321
111111 x 111111 = 12345654321
1111111 x 1111111 = 1234567654321
11111111 x 11111111 = 123456787654321
111111111 x 111111111 = 12345678987654321
1111111111 x 1111111111 = 1234567900987654321
11111111111 x 11111111111 = 123456790120987654321
...


11 x 11 = 121
112211 x 11 = 1234321
1122332211 x 11 = 12345654321
11223344332211 x 11 =  123456787654321
112233445544332211 x 11  = 1234567900987654321
...


11 x 11 = 121
121 x 11 = 1331
12321 x 11 = 135531
1234321 x 11 = 13577531
123454321 x 11 = 1357997531


111 x 11 = 1221
121 x 11 = 1331
131 x 11 = 1441
141 x 11 = 1551
151 x 11 = 1661
161 x 11 = 1771
171 x 11 = 1881
181 x 11 = 1991


4 x 4 = 16
34 x 34 = 1156
334 x 334 = 111556
3334 x 3334 = 11115556
33334 x 33334 = 1111155556
333334 x 333334 = 111111555556
...


7 x 7 = 49
67 x 67 = 4489
667 x 667 = 444889
6667 x 6667 = 44448889
66667 x 66667 = 4444488889
666667 x 666667 = 444444888889
6666667 x 6666667 = 44444448888889
...


9 x 9 = 81
99 x 99 = 9801
999 x 999 = 998001
9999 x 9999 = 99980001
99999 x 99999 = 9999800001
999999 x 999999 = 999998000001
9999999 x 9999999 = 99999980000001
...


7 x 9 = 63
77 x 99 = 7623
777 x 999 = 776223
7777 x 9999 = 77762223
77777 x 99999 = 7777622223
777777 x 999999 = 777776222223
...


3 x 37 = 111
33 x 3367 = 111111
333 x 333667 = 111111111
3333 x 33336667 = 111111111111
33333 x 3333366667 = 111111111111111
333333 x 333333666667 = 111111111111111111
3333333 x 33333336666667 = 111111111111111111111
33333333 x 3333333366666667 = 111111111111111111111111
333333333 x 333333333666666667 = 111111111111111111111111111
3333333333 x 33333333336666666667 = 111111111111111111111111111111
...


7 x 15873 = 111111
14 x 15873 = 222222
21 x 15873 = 333333
28 x 15873 = 444444
35 x 15873 = 555555
42 x 15873 = 666666
49 x 15873 = 777777
56 x 15873 = 888888
63 x 15873 = 999999


3 x 37 = 111 e 1 + 1 + 1 = 3
6 x 37 = 222 e 2 + 2 + 2 = 6
9 x 37 = 333 e 3 + 3 + 3 = 9
12 x 37 = 444 e 4 + 4 + 4 = 12
15 x 37 = 555 e 5 + 5 + 5 = 15
18 x 37 = 666 e 6 + 6 + 6 = 18
21 x 37 = 777 e 7 + 7 + 7 = 21
24 x 37 = 888 e 8 + 8 + 8 = 24
27 x 37 = 999 e 9 + 9 + 9 = 27


1 x 9 = 09 e 0 + 9 = 9
2 x 9 = 18 e 1 + 8 = 9
3 x 9 = 27 e 2 + 7 = 9
4 x 9 = 36 e 3 + 6 = 9
5 x 9 = 45 e 4 + 5 = 9
6 x 9 = 54 e 5 + 4 = 9
7 x 9 = 63 e 6 + 3 = 9
8 x 9 = 72 e 7 + 2 = 9
10 x 9 = 90 e 9 + 0 = 9

A matemática financeira do FarmVille

O FarmVille, um dos jogos mais populares no Facebook, possui uma aplicação básica da matemática financeira. Em um jogo onde comercializa-se uma variedade de produtos com diferentes preços para compra e venda, para se obter o maior lucro ou ganhar dinheiro mais rápido é preciso comparar matematicamente os valores. Além do índice de experiência (XP) que também pode ser ponderado na escolha do item a ser produzido.

No FarmVille existem as moedas (Farm Coins) que ganhamos principalmente na venda da produção e as notas (Farm Cash) que ganhamos uma a cada mudança de nível. De todos os itens que estão disponíveis no mercado, uns só podem ser comprados com as moedas, outros só com as notas e alguns com ambas. Existe também o ganho de experiência (XP Gained) que provém do trabalho ou de algumas transações comerciais. Este serve para avançarmos nos níveis do jogo.

As notas servem para comprar itens especiais e são adquiridas em maior quantidade através da compra real por cartão de crédito. As moedas compram os itens básicos porém suficientes para nos divertirmos no jogo e são adquiridas gratuitamente aos montes nas colheitas. As moedas também podem ser adquiridas por cartão de crédito mas não é necessário, vamos discutir aqui somente o jogo gratuito.

Para realizar uma plantação é necessário arar a terra (Plow), plantar (Plant) as sementes (Seeds), esperar o crescimento (Grown) e então fazer a colheita (Harvest) e venda (Sell) do produto. Numa próxima produção todos estes passos se repetem.

Os itens são caracterizados por preço de compra, tempo para colheita, experiência adquirida e preço de venda. Diversas combinações dentre estas características são distribuídas para os produtos agrícolas e o jogo vai nos disponibilizando mais itens a medida que avançamos nos níveis.

Um abacaxi custa 95 moedas na compra da semente, ganha-se duas unidades de experiência no plantio, demora 2 dias para a colheita e na venda de sua produção ganha-se 242 moedas. Estes valores são para cada bloco de terra arada, desta forma para cada bloco plantado, considerando o gasto de 15 moedas para arar a terra, temos um lucro de 242 - 95 - 15 = 132 moedas. Como demora 48 horas o crescimento então ganhamos 132 / 48 = 2,75 moedas por hora. Em XP ganhamos uma unidade em arar a terra mais duas unidades pelo plantio, proporcionando neste período de 48 horas um ganho de 0,06 unidade de experiência por hora.

Já um tomate custa 100 moedas a semente, ganha-se 1 XP no plantio, demora 8 horas para a colheita e na venda ganha-se 173 moedas. O lucro será de apenas 173 - 100 - 15 = 58 moedas entretando ganharemos 58 / 8 = 7,25 moedas por hora graças a colheita mais rápida. Em XP ganha-se um por arar e mais um pelo plantio, proporcionando neste período de 8 horas um ganho de 0,25 XP por hora.

Para se obter um ganho acelerado de moedas é preciso analisar o lucro por hora pois alguns itens pagam bem mas demoram muito para produzir. Uma produção com ganho menor mas com uma maior rotatividade pode trazer um lucro maior no mesmo período de tempo. Durante uma produção de abacaxi ganha-se 132 moedas nestas 48 horas, mas em 48 horas podemos ter seis produções de tomates, totalizando 348 moedas nestas 48 horas.

Outro ponto a considerar é a preferência pelo ganho de moedas ou de experiência. Também cada item vai ser melhor para um ou para outro. Ganhar experiência é bom porque mais itens ficam disponíveis e quase sempre vem um item mais lucrativo.

Claro que ninguém vai querer ou poder ficar o tempo todo plantando e colhendo na frente do computador, assim escolha o melhor item de acordo com as horas que você tem disponíveis para jogar o FarmVille.

O segredo de descobrir o número pelas cartelas mágicas

Uma mágica matemática bastante conhecida é a de descobrir um número, que foi escolhido por outra pessoa e que está presente em pelo menos uma das cartelas fornecidas, contendo conjuntos numéricos. Simplesmente uma pessoa escolhe um número qualquer nas cartelas, depois diz em quais cartelas o número aparece e rapidamente o "mágico" diz o número que foi escolhido.

Vamos tomar por exemplo os conjuntos numéricos abaixo. Estes conjuntos contém números de 1 à 50 distribuídos entre eles. Com alguns números aparecendo em dois ou mais conjuntos e alguns números não aparecendo em determinados conjuntos:

1) 01, 03, 05, 09, 07, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37, 39, 41, 43, 45, 47, 49.

2) 02, 03, 06, 07, 10, 11, 14, 15, 18, 19, 22, 23, 26, 27, 30, 31, 34, 35, 38, 39, 42, 43, 46, 47, 50.

3) 04, 05, 06, 07, 12, 13, 14, 15, 20, 21, 22, 23, 28, 29, 30, 31, 36, 37, 38, 39, 44, 45, 46, 47.

4) 08, 09, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47.

5) 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 48, 49, 50.

6) 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50.

A solução é: Quando uma pessoa escolhe um número e diz em quais cartelas o número aparece, o número escolhido é igual ao somatório do primeiro número de cada cartela em que o número pertence, ou seja, se foi escolhido o número 22, logo foi dito que ele está nas cartelas de nº 2, 3 e 5. Então o número escolhido é 2+4+16 = 22.

Para poder realizar esta mágica é preciso distribuir os números fazendo a conversão deles para a base 2. Os conjuntos são formados de acordo com a posição dos algarismos 0 e 1 no número em base binária.

O conjunto nº 1 recebe os números que contenham o algarismo 1 na posição 2^0 em sua representação binária. O conjunto nº 2 recebe os números que contenham o algarismo 1 na posição 2^1. Da mesma forma é formado os conjuntos seguintes, finalizando com o conjunto nº 6, que recebe os números que contenham o algarismo 1 na posição 2^5. O algarismo 0 indica que o número não pertence ao conjunto desta posição.

Assim, voltando ao exemplo com o número 22, onde sua representação binária é 010110. Visualizando da direita para a esquerda, do algarismo menos significativo para o mais significativo, o algarismo 1 aparece nas posições 2^1, 2^2 e 2^4, portanto o número 22 vai para os conjuntos nº 2, 3 e 5. O zero nas posições 2^0, 2^3 e 2^5 indica que o número 22 não vai para os conjuntos nº 1, 4 e 6.

Um truque simples mas que causa uma grande surpresa na adivinhação.