Um dos modos de calcular a altura ou a profundidade, por exemplo da janela de um prédio ou de um poço, é soltar um objeto no alto e medir o tempo gasto da sua queda até que este objeto chegue ao final.
Para realizar este cálculo nós utilizamos uma fórmula do Movimento Uniformemente Variado (M.U.V.), pois durante a queda do objeto o valor da aceleração escalar instantânea permanece constante no decorrer do tempo. Precisamente, utilizamos a função horária dos espaços:
Na fórmula, a aceleração escalar está representada pela letra Gama (Γ) e neste cálculo corresponde à aceleração da gravidade (g) da Terra. Seu valor está em torno de 9,8 m/s². O sinal de g será positivo pois a orientação da trajetória é a mesma da gravidade. Os valores para posição inicial (s0) e velocidade inicial (v0) são adotados como nulos porque a distância será a partir de onde o objeto é solto e o objeto vai estar parado em nossa mão. Então, simplificando a fórmula, a distância (d) à ser calculada é dada por:
Por exemplo, se o tempo gasto na queda do objeto foi três segundos, a distância será aproximadamente 44 metros (d = 4,9 x 3²). Apenas para ilustrar, o objeto atingiu o final a uma velocidade de 29,4 m/s (v = v0 + g.t) (função horária da velocidade).
Se quiséssemos ser mais precisos, poderíamos considerar que o tempo total corresponde a soma do tempo da queda do objeto com o tempo do retorno do som da batida. Entretanto, como a velocidade do som é relativamente alta, em torno de 340 m/s, para cada metro de distância o som demora apenas 0,003 segundos em seu deslocamento. Muito pouco para influenciar este cálculo. A não ser que a queda tenha mais de 170 metros, o que daria uma porção do tempo total de aproximadamente 0,5 segundos para o tempo do som.
O procedimento de introduzir o tempo do som ao cálculo é simples porém deixa de ser um cálculo que pode ser efetuado mentalmente. A distância percorrida pelo som é 340 vezes o tempo gasto (d = 340 x ts) e a distância percorrida pelo objeto é, como vimos, a aceleração da gravidade, dividido por dois, vezes o quadrado do tempo gasto pelo objeto (d = g/2 x to²). Estas distâncias são as mesmas então 340 x ts = g/2 x to². A soma, do tempo gasto pelo objeto mais o tempo gasto pelo som, é igual a três (to + ts = 3), consequentemente o tempo gasto pelo som é igual a três menos o tempo gasto pelo objeto (ts = 3 - to). Colocando tudo numa equação podemos encontrar um dos tempos (a aceleração da gravidade foi arredondada para 10 m/s² para facilitar o cálculo):
340 x ts = g/2 x to²
340 x (3 - to) = 10/2 x to²
1020 - 340to = 5 x to²
to² = 1020/5 - 340/5 x to
to² = 204 - 68to
to² + 68to - 204 = 0
Neste ponto chegamos a uma equação do segundo grau e resolvendo pela fórmula de Bhaskara obtemos que o tempo gasto pelo objeto é igual a 2,88 segundos. Logo, o tempo gasto pelo som foi três menos 2,88 (ts = 3 - to), que é igual a 0,12 segundos. Para concluir, basta colocar um destes valores de tempo na sua respectiva fórmula para obtermos o cálculo da distância. Se d = g/2 x to² então d = 9,8/2 x (2,88)² = 40,64 metros. Usando a outra fórmula, d = 340 x ts = 340 x 0,12 = 40,8 metros. Os valores não são exatos pois fizemos diversos arredondamentos pelo caminho.
Para obter um melhor resultado nesta medida é interessante que o objeto tenha uma boa densidade para não sofrer muito com a resistência do ar. Não dá muito certo por exemplo soltar uma pena. Obviamente, todos estes cálculos desprezam a resistência do ar na queda do objeto.
Para realizar este cálculo nós utilizamos uma fórmula do Movimento Uniformemente Variado (M.U.V.), pois durante a queda do objeto o valor da aceleração escalar instantânea permanece constante no decorrer do tempo. Precisamente, utilizamos a função horária dos espaços:
Na fórmula, a aceleração escalar está representada pela letra Gama (Γ) e neste cálculo corresponde à aceleração da gravidade (g) da Terra. Seu valor está em torno de 9,8 m/s². O sinal de g será positivo pois a orientação da trajetória é a mesma da gravidade. Os valores para posição inicial (s0) e velocidade inicial (v0) são adotados como nulos porque a distância será a partir de onde o objeto é solto e o objeto vai estar parado em nossa mão. Então, simplificando a fórmula, a distância (d) à ser calculada é dada por:
Por exemplo, se o tempo gasto na queda do objeto foi três segundos, a distância será aproximadamente 44 metros (d = 4,9 x 3²). Apenas para ilustrar, o objeto atingiu o final a uma velocidade de 29,4 m/s (v = v0 + g.t) (função horária da velocidade).
Se quiséssemos ser mais precisos, poderíamos considerar que o tempo total corresponde a soma do tempo da queda do objeto com o tempo do retorno do som da batida. Entretanto, como a velocidade do som é relativamente alta, em torno de 340 m/s, para cada metro de distância o som demora apenas 0,003 segundos em seu deslocamento. Muito pouco para influenciar este cálculo. A não ser que a queda tenha mais de 170 metros, o que daria uma porção do tempo total de aproximadamente 0,5 segundos para o tempo do som.
O procedimento de introduzir o tempo do som ao cálculo é simples porém deixa de ser um cálculo que pode ser efetuado mentalmente. A distância percorrida pelo som é 340 vezes o tempo gasto (d = 340 x ts) e a distância percorrida pelo objeto é, como vimos, a aceleração da gravidade, dividido por dois, vezes o quadrado do tempo gasto pelo objeto (d = g/2 x to²). Estas distâncias são as mesmas então 340 x ts = g/2 x to². A soma, do tempo gasto pelo objeto mais o tempo gasto pelo som, é igual a três (to + ts = 3), consequentemente o tempo gasto pelo som é igual a três menos o tempo gasto pelo objeto (ts = 3 - to). Colocando tudo numa equação podemos encontrar um dos tempos (a aceleração da gravidade foi arredondada para 10 m/s² para facilitar o cálculo):
340 x ts = g/2 x to²
340 x (3 - to) = 10/2 x to²
1020 - 340to = 5 x to²
to² = 1020/5 - 340/5 x to
to² = 204 - 68to
to² + 68to - 204 = 0
Neste ponto chegamos a uma equação do segundo grau e resolvendo pela fórmula de Bhaskara obtemos que o tempo gasto pelo objeto é igual a 2,88 segundos. Logo, o tempo gasto pelo som foi três menos 2,88 (ts = 3 - to), que é igual a 0,12 segundos. Para concluir, basta colocar um destes valores de tempo na sua respectiva fórmula para obtermos o cálculo da distância. Se d = g/2 x to² então d = 9,8/2 x (2,88)² = 40,64 metros. Usando a outra fórmula, d = 340 x ts = 340 x 0,12 = 40,8 metros. Os valores não são exatos pois fizemos diversos arredondamentos pelo caminho.
Para obter um melhor resultado nesta medida é interessante que o objeto tenha uma boa densidade para não sofrer muito com a resistência do ar. Não dá muito certo por exemplo soltar uma pena. Obviamente, todos estes cálculos desprezam a resistência do ar na queda do objeto.
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Como calcular a altura máxima de uma bola lançada de acordo com a relaçãoh(t)=t²+8t
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