Problema de Lógica: As pérolas do rajá

Um rajá deixou às suas filhas certo número de pérolas e determinou que a divisão se fizesse do seguinte modo: a filha mais velha tiraria 1 pérola e um sétimo do que restasse; viria, depois, a segunda e tomaria para si 2 pérolas e um sétimo do restante; a seguir a terceira jovem receberia 3 pérolas e um sétimo do que restasse. E assim sucessivamente. A divisão proposta pelo velho rajá era justa e perfeita. Feita a partilha, cada uma das herdeiras recebeu o mesmo número de pérolas. Pergunta-se: Qual o número de pérolas? Quantas são as filhas do rajá?






RESPOSTA






Seja x o número total de pérolas do rajá e q1, q2, q3 etc. as quantidades para cada filha. Portanto x = q1+q2+q3 etc.

A primeira filha retirou 1 pérola mais 1/7 do restante:

q1 = 1 + 1/7 * (x-1) = (x+6)/7

Então restaram:

x - q1 = x - ((x+6)/7) = (6x-6)/7

A segunda retirou 2 pérolas mais 1/7 do restante:

q2 = 2 + 1/7 * ((6x-6)/7 - 2) = (6x+78)/49

Poderíamos agora calcular o restante e a quantidade para a terceira filha mas não é necessário. Como sabemos que as herdeiras receberam o mesmo número de pérolas, então, q1=q2=q3 etc. Assim, podemos igualar a quantidade q1 com q2 e encontrar o valor do número total de pérolas:

q1 = q2
(x+6)/7 = (6x+78)/49
x = 36

As pérolas eram em número de 36 e foram repartidas por 6 filhas. A primeira tirou 1 pérola e mais um sétimo de 35, isto é, 5; logo, tirou 6 pérolas e deixou 30. A segunda, das 30 que encontrou, tirou 2 mais um sétimo de 28, que é 4; logo, tirou 6 e deixou 24. A terceira, das 24 que encontrou, tirou 3 mais um sétimo de 21, ou 3. Tirou portanto 6, deixando 18 de resto. A quarta, das 18 que encontrou, tirou 4 mais um sétimo de 14. E um sétimo de 14 é 2, recebendo também 6 pérolas. A quinta encontrou 12 pérolas e retirou 5 e um sétimo de 7, isto é, 1; logo tirou 6. A sexta filha recebeu, por fim, as 6 pérolas restantes.