Os movimentos no Cubo Mágico

O Cubo Mágico ou Cubo de Rubik (www.rubiks.com) é um quebra-cabeça mecânico tridimensional inventado pelo húngaro Ernö Rubik em 1974. O quebra-cabeça consiste em 26 peças ou cubinhos distintos, dispostos em uma estrutura 3x3x3 e unidos por um mecanismo central, que seria o 27º cubinho, o qual permite rotacionar cada face do cubo, ou seja, um conjunto de nove cubinhos, para ambos os sentidos.

Quebra-cabeças desse tipo são conhecidos como jogos de permutação, porque são baseados em movimentações, ou permutações, das partes do quebra-cabeça. O objetivo é restaurar as partes desordenadas em um arranjo predeterminado. Jogos de permutação estão diretamente relacionados à análise combinatória, responsável pela análise das possibilidades e das combinações possíveis dos elementos do quebra-cabeça.

Cada face do cubo possui uma cor, tradicionalmente branco, amarelo, vermelho, laranja, verde e azul, e desta forma, cada cubinho possui uma, duas ou três cores, dependendo da sua localização. No cubo oficial as cores são arranjadas com o branco oposto ao amarelo, o vermelho oposto ao laranja e o verde oposto ao azul.

O cubinho central de cada face é fixo no mecanismo, portanto não se move. Os outros cubinhos podem embaralhar-se, saindo-os de sua face inicial. A cor do cubinho central determina a cor de sua face. Para o quebra-cabeça ser resolvido, cada face deve estar inteiramente com a mesma cor.

Existem três tipos de cubinhos: o cubinho central, de apenas uma cor; os cubinhos de aresta, com duas cores; e os cubinhos de canto, com três cores. Durante o embaralhamento, os cubinhos de aresta, 12 no total, somente assumem posições nas arestas e os cubinhos de canto, 8 no total, somente assumem posições nos cantos.

Cubinho central, de aresta e de canto

Um Cubo Mágico 3x3x3, que possui 8 cubinhos de canto e 12 cubinhos de aresta, tem 8! = 40.320 arranjos para os cantos e 12!/2 = 239.500.800 arranjos para as arestas, pois um quarto de volta de uma face faz uma permutação ímpar dos cantos e uma permutação ímpar das arestas, o que conjuntamente é par. Os cantos podem ainda ser rotacionados, onde sete deles independentemente e o oitavo dependendo dos sete precedentes, dando 3^7 = 2187 possibilidades. Também onze arestas podem ser rotacionadas independentemente, com a rotação da décima segunda dependendo das precedentes, dando 2^11 = 2048 possibilidades. O total de permutações possíveis no Cubo Mágico é de:

8! x 3^7 x 12!/2 x 2^11 = 43.252.003.274.489.856.000

Na resolução do quebra-cabeça, uma sequência de movimentos que possui um efeito desejado no cubo é denominada algoritmo. Um conjunto de algoritmos pode ser aplicado para cada método de resolução do Cubo Mágico.

A maior parte dos algoritmos tem o objetivo de trocar apenas algumas peças sem alterar a posição das restantes, pois a medida que o quebra-cabeça vai sendo resolvido, algumas peças já estarão nas posições corretas. Por exemplo, existe um algoritmo que rotaciona dois cubinhos de canto sem alterar o resto e um algoritmo que troca a localização de três cubinhos de aresta também sem modificar o restante do cubo.

Enquanto alguns algoritmos possuem poucos movimentos, outros são verdadeiros esforços para a memória. Para se obter sucesso na aplicação do algoritmo é importante que se mantenha a orientação das faces do cubo, um pequeno descuido e o resultado do algoritmo vai por água abaixo.

Os algoritmos são escritos em uma notação específica, talvez a mais usada seja a notação de Singmaster, desenvolvida pelo professor de matemática David Singmaster. A notação padroniza os nomes das faces e o sentido da rotação. A figura a seguir mostra as referências para as faces, com as letras U, D, L, R, F, B, para as palavras em inglês Upper, Down, Left, Right, Front e Back. As cores não estão amarradas aos nomes das faces, pois isto pode variar dependendo das peças que serão rearranjadas.

Cada letra corresponde a uma face

No algoritmo, o sentido do movimento é horário ou anti-horário. Em um movimento anti-horário de uma face, a letra correspondente segue de um apóstrofo, exemplo U'. Se não tiver o apóstrofo o sentido é horário. O movimento descrito por uma letra é sempre de 90 graus de giro, ou seja, um quarto de volta. A seguir uma imagem que ilustra todos os movimentos das faces.

Movimentos de cada face do Cubo Mágico

Por exemplo, um algoritmo hipotético descrito como U L' F U' movimenta, na ordem como é lido, a face de cima em sentido horário, a face da esquerda em sentido anti-horário, a face frontal em sentido horário e a face de cima em sentido anti-horário. Durante todos os movimentos, as orientações das faces do cubo não podem modificar-se. Isto pode ser verificado pelos cubinhos centrais, que nunca mudam de localização durante as rotações.

A notação se estende em mais denominações, para rotações duplas, nomeação de camadas, eixos e até rotações de todo o cubo. Não será tratada aqui de forma completa pois a intenção deste artigo é apenas mostrar alguns algoritmos.

Vamos então para alguns dos algoritmos mais conhecidos para aplicar na resolução do Cubo Mágico:

1) Trocar dois cubinhos de aresta invertendo as cores:

U' U' L F L L U L U' F R' U R F F U' U'

2) Trocar dois cubinhos de aresta sem inverter as cores:

D L D L' D D F' D F D' R' F' R

3) Trocar três cubinhos de aresta em sentido horário:

F F U L R F F L' R' U F F

4) Trocar três cubinhos de aresta em sentido anti-horário:

F F U' L R F F L' R' U' F F

5) Trocar dois pares opostos de cubinhos de aresta:

L' L' F' F' L' L' F' F' L' L' F' F'

6) Inverter as cores de dois cubinhos de aresta:

U F B R' R' F' F' B' B' L F L' B' B' F' F' R' R' B' F' U' F'

7) Rotacionar dois cubinhos de canto em sentido anti-horário:

F' U' U' F U F' U F B' U' U' B U' B' U' B

8) Rotacionar dois cubinhos de canto em sentido horário:

B' U B U B' U' U' B F' U' F U' F' U' U' F

9) Trocar três cubinhos de canto em sentido horário:

F' U B' U' F U B U'

Para aplicar um algoritmo, localize os cubinhos que serão movimentados e posicione o cubo deixando semelhante a imagem descritiva do movimento. Não importam quais as cores das faces, não serão necessariamente as mesmas das ilustrações. Com o cubo posicionado, verifique pela cor dos cubinhos centrais qual face está em cima, na frente e na esquerda. Mantenha o cubo assim e faça os movimentos de rotação nas faces escritas no algoritmo.

Dentre as diversas soluções para o Cubo Mágico podemos aplicar alguns ou todos estes algoritmos, em uma ordem ou número de vezes dependendo do embaralhamento, e assim aos poucos reorganizando as peças em suas faces. A dica é começar pelas peças de aresta, formando cruzes com as cores dos cubinhos centrais e por fim organizar as peças de canto, completando o quebra-cabeça.