Problema de Lógica: Igualdade entre produtos com dígitos invertidos

23 x 96 = 32 x 69

Surpreendentemente, existem vários pares semelhantes de números com dois dígitos onde seus produtos permanecem o mesmo quando as ordens dos dígitos são invertidas. Quantos pares de números você pode descobrir?





RESPOSTA





Evidentemente, se os números com dois dígitos são ambos formados por dígitos repetidos, como 22 e 55, então inverter a ordem dos dígitos mantém os números inalterados, assim os produtos serão os mesmos. Além disso, se o segundo número é formado pela inversão dos dígitos do primeiro número, por exemplo 12 e 21, então os mesmos números serão obtidos na inversão dos dígitos.

Suponha que os dois números são ab e cd, e depois queremos que seu produto seja igual ao produto de ba e dc. Isto pode ser expresso algebricamente como:

(10a + b) x (10c + d) = (1Ob + a) x (1Od + c)

na qual:

1OOac + 1Oad + 1Obc + bd = 100bd + 1Obc + 1Oad + ac

e simplificando:

99ac = 99bd

Então, os números satisfazem a condição requerida quando seus dígitos satisfazem:

ac = bd

Isto é equivalente ao produto dos dígitos da dezena sendo igual ao produto dos dígitos da unidade, dando as seguintes soluções:

12 x 42 = 21 x 24
12 x 63 = 21 x 36
13 x 62 = 31 x 26
12 x 84 = 21 x 48
14 x 82 = 41 x 28
13 x 93 = 31 x 39
23 x 64 = 33 x 46
24 x 63 = 42 x 36
24 x 84 = 42 x 48
23 x 96 = 32 x 69
26 x 93 = 62 x 39
34 x 86 = 43 x 68
36 x 84 = 63 x 48
46 x 96 = 64 x 69