A Análise Combinatória é um conjunto de métodos que possibilita a contagem de agrupamentos diferentes formados a partir de um número finito de elementos de um conjunto. Os agrupamentos de p elementos são formados a partir de um conjunto com n elementos, com p<=n.
Arranjos, Permutações ou Combinações são os três tipos principais de agrupamentos, sendo que aqui trataremos os simples ou com repetição.
Princípio Fundamental da Contagem
Alguns problemas de análise combinatória normalmente podem ser resolvidos através de duas regras básicas: a regra da soma e a regra do produto.
Se um elemento pode ser escolhido de m formas e um outro elemento pode ser escolhido de n formas, então a escolha de um ou outro elemento se realizará de m + n formas diferentes. É a regra da soma.
Exemplo:
Em uma sacola existem 7 peças brancas e 5 peças pretas. Em um jogo de sorteio, qual o número máximo de pessoas para participar sendo que cada pessoa pegue apenas uma peça da sacola?
Resposta: 7 + 5 = 12 pessoas
Se um primeiro acontecimento pode ocorrer de p1 modos diferentes, um segundo acontecimento de p2 modos diferentes e, sucessivamente, um enésimo acontecimento de pn modos diferentes, sendo p1, p2, ..., pn eventos independentes, então o número de modos diferentes em que os n acontecimentos podem ocorrer é p1 x p2 x ... pn. É a regra do produto.
Exemplo:
Os números de telefones possuem 8 algarismos. Quantos números podem existir sabendo que não podem começar com zero?
Resposta: 9x10x10x10x10x10x10x10 = 90.000.000 números
Arranjo Simples
Denomina-se arranjo simples de n elementos tomados p a p (n>=p) os agrupamentos ordenados de p elementos distintos que se podem formar com os n elementos dados. O arranjo simples não considera a repetição dos elementos.
O arranjo simples nada mais é do que a regra do produto, do princípio fundamental da contagem, no qual em cada evento subsequente é reduzido em menos 1 o número de modos diferentes.
Exemplo:
Utilizando os 10 algarismos para formar uma senha com 4 algarismos distintos, quantas senhas diferentes podem ser formadas?
Resposta:
A(10,4) = 10!/(10-4)! = 5040 senhas
ou
A(10,4) = 10*9*8*(10-4+1) = 10*9*8*7 = 5040 senhas
Arranjo com Repetição
No arranjo com repetição não há a exclusão da possibilidade de um elemento repetir-se na formação de um agrupamento.
Exemplo:
Uma placa de automóvel é formada por 3 letras mais 4 algarismos, quantas placas diferentes podem ser formadas?
Resposta:
AR(26,3) * AR(10,4) = 26^3 * 10^4 = 175.760.000 placas
Como podem observar, para resolver um arranjo com repetição também utiliza-se basicamente da regra do produto do princípio fundamental da contagem.
Permutação Simples
Chama-se de permutação simples de n elementos todo arranjo simples de n elementos tomados n a n. Então permutação simples é o tipo de agrupamento ordenado em que cada grupo recebe todos os elementos.
Exemplo:
Qualquer ordenação das letras de uma palavra é denominada anagrama. Quantos anagramas tem a palavra LIVRO?
P(5) = 5! = 120 anagramas
Permutação com Elementos Repetidos
Se entre os elementos existem elementos repetidos, não adianta realizar a permutação entre eles pois não será alterado o agrupamento.
De um modo geral, se temos n elementos a serem permutados, dentre os quais p elementos são iguais, para cada permutação temos p! repetições, totalizando n!/p! permutações.
Exemplo:
Quantos anagramas tem a palavra PARA?
P(4;2) = 4!/2! = 12 anagramas
Para n elementos com p1 elementos iguais, p2 elementos iguais e assim sucessivamente até pr elementos iguais, temos n!/p1!p2!...pr!.
Exemplo:
Quantos anagramas tem a palavra RESSACA?
P(7;2,2) = 7!/2!2! = 1260 anagramas
Combinação Simples
Combinação é o tipo de agrupamento em que a ordem dos elementos dentro do grupo não altera o agrupamento.
O número de combinações de n elementos em grupos de p elementos é igual ao número de arranjos de n elementos tomados p a p, dividido pela permutação de p.
Exemplo:
Quantos jogos diferentes de 6 números podem ser formados com os 60 números da megasena?
C(60,6) = 60!/6!(60-6)! = 50.063.860 jogos
Combinação com Repetição
Na combinação com repetição todos os elementos podem aparecer repetidos em cada grupo até p vezes. E da mesma forma, a ordem dos elementos não altera o agrupamento.
A combinação com repetição é igual a combinação simples de n+p-1 elementos tomados p a p.
Exemplo:
Seja um conjunto com os elementos {A,B,C,D}, quantas combinações com repetição existem com os elementos tomados 2 a 2?
Resposta:
CR(4,2) = (4+2-1)!/2!((4+2-1)-2)! = 10 combinações
Concluindo, nos arranjos e nas permutações a posição dos elementos diferencia os agrupamentos e nas combinações a posição dos elementos não diferencia. Vemos a diferença disto comparando a formação de um número de telefone, no qual a mudança de posição muda o número, com um jogo da megasena, onde a ordem dos números não altera o resultado.
Arranjos, Permutações ou Combinações são os três tipos principais de agrupamentos, sendo que aqui trataremos os simples ou com repetição.
Princípio Fundamental da Contagem
Alguns problemas de análise combinatória normalmente podem ser resolvidos através de duas regras básicas: a regra da soma e a regra do produto.
Se um elemento pode ser escolhido de m formas e um outro elemento pode ser escolhido de n formas, então a escolha de um ou outro elemento se realizará de m + n formas diferentes. É a regra da soma.
Exemplo:
Em uma sacola existem 7 peças brancas e 5 peças pretas. Em um jogo de sorteio, qual o número máximo de pessoas para participar sendo que cada pessoa pegue apenas uma peça da sacola?
Resposta: 7 + 5 = 12 pessoas
Se um primeiro acontecimento pode ocorrer de p1 modos diferentes, um segundo acontecimento de p2 modos diferentes e, sucessivamente, um enésimo acontecimento de pn modos diferentes, sendo p1, p2, ..., pn eventos independentes, então o número de modos diferentes em que os n acontecimentos podem ocorrer é p1 x p2 x ... pn. É a regra do produto.
Exemplo:
Os números de telefones possuem 8 algarismos. Quantos números podem existir sabendo que não podem começar com zero?
Resposta: 9x10x10x10x10x10x10x10 = 90.000.000 números
Arranjo Simples
Denomina-se arranjo simples de n elementos tomados p a p (n>=p) os agrupamentos ordenados de p elementos distintos que se podem formar com os n elementos dados. O arranjo simples não considera a repetição dos elementos.
O arranjo simples nada mais é do que a regra do produto, do princípio fundamental da contagem, no qual em cada evento subsequente é reduzido em menos 1 o número de modos diferentes.
Exemplo:
Utilizando os 10 algarismos para formar uma senha com 4 algarismos distintos, quantas senhas diferentes podem ser formadas?
Resposta:
A(10,4) = 10!/(10-4)! = 5040 senhas
ou
A(10,4) = 10*9*8*(10-4+1) = 10*9*8*7 = 5040 senhas
Arranjo com Repetição
No arranjo com repetição não há a exclusão da possibilidade de um elemento repetir-se na formação de um agrupamento.
Exemplo:
Uma placa de automóvel é formada por 3 letras mais 4 algarismos, quantas placas diferentes podem ser formadas?
Resposta:
AR(26,3) * AR(10,4) = 26^3 * 10^4 = 175.760.000 placas
Como podem observar, para resolver um arranjo com repetição também utiliza-se basicamente da regra do produto do princípio fundamental da contagem.
Permutação Simples
Chama-se de permutação simples de n elementos todo arranjo simples de n elementos tomados n a n. Então permutação simples é o tipo de agrupamento ordenado em que cada grupo recebe todos os elementos.
Exemplo:
Qualquer ordenação das letras de uma palavra é denominada anagrama. Quantos anagramas tem a palavra LIVRO?
P(5) = 5! = 120 anagramas
Permutação com Elementos Repetidos
Se entre os elementos existem elementos repetidos, não adianta realizar a permutação entre eles pois não será alterado o agrupamento.
De um modo geral, se temos n elementos a serem permutados, dentre os quais p elementos são iguais, para cada permutação temos p! repetições, totalizando n!/p! permutações.
Exemplo:
Quantos anagramas tem a palavra PARA?
P(4;2) = 4!/2! = 12 anagramas
Para n elementos com p1 elementos iguais, p2 elementos iguais e assim sucessivamente até pr elementos iguais, temos n!/p1!p2!...pr!.
Exemplo:
Quantos anagramas tem a palavra RESSACA?
P(7;2,2) = 7!/2!2! = 1260 anagramas
Combinação Simples
Combinação é o tipo de agrupamento em que a ordem dos elementos dentro do grupo não altera o agrupamento.
O número de combinações de n elementos em grupos de p elementos é igual ao número de arranjos de n elementos tomados p a p, dividido pela permutação de p.
Exemplo:
Quantos jogos diferentes de 6 números podem ser formados com os 60 números da megasena?
C(60,6) = 60!/6!(60-6)! = 50.063.860 jogos
Combinação com Repetição
Na combinação com repetição todos os elementos podem aparecer repetidos em cada grupo até p vezes. E da mesma forma, a ordem dos elementos não altera o agrupamento.
A combinação com repetição é igual a combinação simples de n+p-1 elementos tomados p a p.
Exemplo:
Seja um conjunto com os elementos {A,B,C,D}, quantas combinações com repetição existem com os elementos tomados 2 a 2?
Resposta:
CR(4,2) = (4+2-1)!/2!((4+2-1)-2)! = 10 combinações
Concluindo, nos arranjos e nas permutações a posição dos elementos diferencia os agrupamentos e nas combinações a posição dos elementos não diferencia. Vemos a diferença disto comparando a formação de um número de telefone, no qual a mudança de posição muda o número, com um jogo da megasena, onde a ordem dos números não altera o resultado.
Postagens
Nenhum comentário:
Postar um comentário