Fórmulas para o cálculo do desvio padrão

Em estatística, o desvio padrão é um valor que quantifica a dispersão dos dados em torno da média. Basicamente é a média quadrática das diferenças entre o valor de cada dado e a média.

O desvio padrão, dentre as medidas de dispersão, é o mais utilizado pois seu valor está na mesma unidade de medida dos dados e então pode descrever mais claramente a quantidade de dispersão na distribuição da frequência.

A fórmula para o cálculo do desvio padrão possui algumas variantes. As que apresento aqui: uma utiliza as diferenças entre o valor de cada dado e a média, isto é, o desvio médio; e a outra, que mostro em duas versões, utiliza somente os valores dos dados. Em todos os casos é apresentado o cálculo para população e para amostra, para dados não agrupados ou agrupados em frequências.

Desvio padrão com base na população para dados não agrupados:

Desvio padrão com base na população para dados agrupados:

Desvio padrão com base em uma amostra para dados não agrupados:

Desvio padrão com base em uma amostra para dados agrupados:

Para calcular o desvio padrão com estas fórmulas, uma dica é montar uma tabela efetuando cada passo do cálculo e assim usar os somatórios para compor a fórmula, fica muito mais fácil.

Por exemplo, na tabela abaixo a coluna x contém os valores dos dados e a coluna w contém os respectivos pesos. A média (M) destes dados é igual a 5,56. Os somatórios das fórmulas para dados agrupados estão calculados na última linha:

        x     w    x*w    x-M   (x-M)²  (x-M)²*w   x²   x²*w

        7     6    42    1,44    2,06    12,37     49    294
        4     7    28   -1,56    2,45    17,12     16    112
        8     3    24    2,44    5,93    17,8      64    192
        6    12    72    0,44    0,19     2,28     36    432
        3     2     6   -2,56    6,57    13,15      9     18
        5     9    45   -0,56    0,32     2,86     25    225

Soma         39   217                    65,59          1273

Para estes dados acima, o desvio padrão com base na população é igual a 1,297 e com base em uma amostra é 1,314.