Dos juros simples para os juros compostos

Usado na matemática financeira, o juro é uma taxa percentual incidente sobre um valor ou quantia numa unidade de tempo determinado. Trata-se de uma compensação ou remuneração sobre o valor inicial. Pode ser expresso em valor monetário ($) ou como uma taxa de juro (%).

No cálculo dos juros, os termos que compõem as fórmulas são os seguintes:

PV = Valor Presente (do inglês Present Value) é o valor inicial, também chamado de valor principal, valor atual, valor original ou capital;

i = Taxa de juros (do inglês Interest Rate), é a taxa aplicada numa unidade de período;

n = Número de períodos, com a unidade de medida do período sendo ao dia (a.d.), ao mês (a.m.) ou ao ano (a.a.);

M = Montante é o valor final, ou Valor Futuro (em inglês, Future Value, FV);

J = Juros, é a taxa aplicada após n períodos;

VJ = Valor dos Juros, é o valor monetário no qual representa J e que será adicionado ao valor presente para compor o montante.

Os juros podem ser calculados de duas formas, como juros simples ou juros compostos. Os juros simples incidem sobre o valor presente mas não sobre os juros dos períodos anteriores. Ocasionando uma progressão aritmética do valor. Os juros compostos incidem sobre o valor presente e também sobre os juros dos períodos anteriores, sendo juros sobre juros. O valor dos juros de cada período é incorporado ao valor presente e passa a render juros também. Ocasionando uma progressão geométrica.

Por exemplo, PV = 100,00 e taxa de juros de 10%:

Juros Simples: 100 + 30%

Juros Compostos: 100 + 33,1%

Os juros simples podem ser resolvidos por uma regra de três composta, onde o valor presente, em um período produz i, e o valor presente, em n períodos produz J:

Resolvendo a regra de três composta obtemos a fórmula para cálculo dos juros simples:

Os juros simples no final dos períodos é basicamente a taxa de juros vezes o número de períodos:

Como a taxa de juros é uma porcentagem então o número na fórmula fica expresso em uma razão centesimal:

A fórmula somente é válida quando a taxa e o tempo estiverem numa mesma unidade, por exemplo se a taxa de juros for ao mês, o número de períodos deve ser em meses.

Sabendo os juros que serão aplicados, o valor dos juros é o valor presente vezes os juros:

O montante, ou valor futuro, é o valor presente mais o valor dos juros:

Substituindo o termo VJ, sabendo que VJ = PV x i x n, então o montante também pode ser obtido por:

Exemplo prático para cálculo dos juros simples:

Qual o valor futuro de R$ 300,00 após 6 meses com juros simples de 7% a.m.?

J = 7/100 x 6 = 0,42  portanto J = 42%

VJ = 300 x 0,42 = 126  portanto VJ = R$ 126,00

M = 300 + 126 = 426  portanto M = R$ 426,00

Para os juros simples vimos que o valor dos juros é constante, acrescido período à período, calculado sempre sobre o valor inicial. Nos juros compostos o acréscimo entre cada período é calculado sobre o valor do período anterior, que atua como um montante parcial.

A fórmula para cálculo dos juros compostos pode ser deduzida a partir da fórmula dos juros simples. Demonstrando, para o primeiro período, desta forma n = 1, os juros serão:

Sabendo que J = i, VJ = PV x J e M = PV + VJ, então o montante para este primeiro período corrido será:

No cálculo dos juros compostos o primeiro montante passa a ser o valor presente do próximo período, assim, o segundo montante é o montante anterior mais o valor dos juros anterior. E substituindo os termos podemos chegar a uma fórmula simplificada:

Da mesma forma, o cálculo para o período seguinte é realizado usando o segundo montante para ser o valor presente do terceiro período:

Podemos perceber, pela identificação do período e pela potência, que a fórmula para o cálculo do montante final nos juros compostos, após todos os períodos, com n sendo o número de períodos, é:

A fórmula para o cálculo dos juros compostos pode ser dada por uma das seguintes simplificações:

Se M = PV x (1+i)^n e VJ = M - PV = PV x J, então:

Ou se M = PV + VJ, M = PV x (1+i)^n e VJ = PV x J, então:

Em ambas as simplificações chega-se a fórmula para juros compostos:

Exemplo prático para cálculo dos juros compostos:

Qual o valor futuro de R$ 300,00 após 6 meses com juros compostos de 7% a.m.?

J = (1+7/100)^6 - 1 = 0,5007  portanto J = 50,07%

VJ = 300 x 0,5007 = 150,21  portanto VJ = R$ 150,21

M = 300 + 150,21 = 450,21  portanto M = R$ 450,21