Uma vez, em uma época, existiu um famoso sábio chamado Hasen Said. O povo o chamava de "o sábio dos sábios". Um dia, enquanto viajava pelo mundo, o sábio chegou à corte de um sultão, onde foi recebido com grande honra. O sultão o tratou com comida, apresentou-se e, em um dia, disse-lhe:
"Eu governo meu país com a ajuda do Conselho de Sábios, onde eu reúno os doze homens mais sábios do meu país. Contudo, poderia colocá-los em um teste, para que eles possam permanecer somente se forem dignos da honra que dou à eles?"
Hasen Said pensou um pouco e então disse:
"Tudo bem, reúna-os."
Quando todos os sábios estavam reunidos, Hasen disse-lhes:
"Oh, homens sábios, seu rei, o sultão, os reuniu para nos mostrar toda a sua sabedoria. Os servos colocaram uma caixa na frente de cada um de vocês. Todas estas caixas são idênticas. Aqui, na minha bolsa, eu tenho doze pedras preciosas. Algumas delas são esmeraldas, as outras são rubis. Eu convido cada um de vocês para saírem da sala, um por vez, enquanto eu coloco uma destas pedras na sua respectiva caixa, assim todos podem ver as pedras dos outros, mas não saberá qual a sua própria pedra."
E Hasen convidou o primeiro dos sábios para sair da sala. Ele colocou um rubi em sua caixa. Depois que o primeiro retornou, o segundo saiu e Hasen colocou uma esmeralda em sua caixa. Para o terceiro, ele colocou uma esmeralda. E assim por diante até o último. Quando o último sábio retornou, Hasen disse-lhes:
"Todos vocês viram as pedras dos outros, mas não sabem a sua própria pedra. Se você é sábio de fato e se você confia em sua mente e em seus olhos, nada o impede de você realizar o meu desejo. Todos que possuem esmeraldas, venham até aqui e coloquem a sua caixa aos pés do sultão."
Infelizmente, ninguém veio. O sultão ficou então furioso e ordenou que todos os seus sábios fossem banidos da corte, mas Hasen o deteve:
"Não aja precipitadamente, senhor. Eu também teria feito a mesma coisa."
Dez minutos depois, Hasen disse-lhes novamente:
"Todos que possuem esmeraldas, venham até aqui e coloquem a sua caixa aos pés do sultão!"
O mesmo silêncio, ninguém veio. Hasen repetiu o mesmo convite a cada dez minutos, e depois de uma hora, alguns dos sábios se levantaram e vieram para o sultão, que abriu suas caixas. Todas elas continham esmeraldas! Ele pediu para ver as caixas dos outros, onde todas tinham rubis. Temos que dizer que durante toda esta hora, os sábios não disseram nada, eles somente pensaram.
"Oh, senhor!", Hasen disse ao sultão, "Você pode se orgulhar do seu Conselho de Sábios. Eles são homens realmente sábios!" E dizendo-lhes adeus, deixou-os.
A história termina aqui, mas nós convidamos você a continuar, mostrando quantas esmeraldas Hasen havia colocado nas caixas dos sábios e como eles descobriram a pedra que possuíam...
RESPOSTA
A solução deste problema segue o conceito do conhecimento comum, que é a base da teoria dos jogos. Neste conceito, todos escolhem a melhor reação ao mesmo tempo, reproduzindo o equilíbrio de Nash.
São doze pedras, entre esmeraldas (e) e rubis (r), portanto e + r = 12. O convite foi repetido a cada dez minutos, durante uma hora, até que os que possuíam esmeraldas se dirigissem ao sultão. Desta forma, dentre os sessenta minutos o convite foi dito sete vezes, uma no início e seis após cada dez minutos.
Vamos avançar até o ponto de equilíbrio. Primeiramente vamos supor que exista somente uma esmeralda, sendo e = 1 e r = 11, mas eles não sabem disso. Neste caso, se houvesse apenas uma esmeralda, o sábio que estivesse com ela olharia para os outros e, vendo somente rubis, deduziria que a esmeralda estaria consigo. No primeiro convite ele já se levantaria para levar a caixa ao sultão.
Em um segundo raciocínio, vamos supor que existam duas esmeraldas e dez rubis, sendo e = 2 e r = 10, mas eles não sabem disso. Neste caso, cada um dos sábios com esmeraldas veria com os outros sábios a outra esmeralda e os dez rubis. No segundo convite, cada um dos dois sábios com esmeralda saberia que a esmeralda do outro não era a única e, vendo os demais com rubis, deduziria que a outra esmeralda estaria consigo. No segundo convite os dois se levantariam para levar a caixa ao sultão.
Este raciocínio é semelhante para e = 3 e r = 9, ocorrendo a dedução após o terceiro convite, para e = 4 e r = 8..., e = 5 e r = 7..., até e = 6 e r = 6, onde ocorre a dedução após o sexto convite. Percebe-se então a relação entre o número de convites e o número de esmeraldas.
Supondo que existam sete esmeraldas e cinco rubis, sendo e = 7 e r = 5, mas eles não sabem disso. Neste caso, cada um dos sábios com esmeraldas veria com os outros sábios outras seis esmeraldas e os cinco rubis. No sétimo convite, cada um dos sábios com esmeralda saberia que existem mais de seis esmeraldas e, vendo as seis esmeraldas e os cinco rubis, deduziria que a sétima esmeralda estaria consigo. No sétimo convite os sete sábios com esmeraldas se levantariam para levar a caixa ao sultão. E foi o que aconteceu.
A resposta do problema é que Hasen colocou sete esmeraldas e cinco rubis nas caixas.
Leia mais sobre conhecimento comum em http://dan-scientia.blogspot.com.br/2010/08/o-conhecimento-comum-e-o-equilibrio-de.html e um outro problema bastante interessante em http://dan-scientia.blogspot.com.br/2009/08/problema-de-logica-cor-dos-olhos.html
"Eu governo meu país com a ajuda do Conselho de Sábios, onde eu reúno os doze homens mais sábios do meu país. Contudo, poderia colocá-los em um teste, para que eles possam permanecer somente se forem dignos da honra que dou à eles?"
Hasen Said pensou um pouco e então disse:
"Tudo bem, reúna-os."
Quando todos os sábios estavam reunidos, Hasen disse-lhes:
"Oh, homens sábios, seu rei, o sultão, os reuniu para nos mostrar toda a sua sabedoria. Os servos colocaram uma caixa na frente de cada um de vocês. Todas estas caixas são idênticas. Aqui, na minha bolsa, eu tenho doze pedras preciosas. Algumas delas são esmeraldas, as outras são rubis. Eu convido cada um de vocês para saírem da sala, um por vez, enquanto eu coloco uma destas pedras na sua respectiva caixa, assim todos podem ver as pedras dos outros, mas não saberá qual a sua própria pedra."
E Hasen convidou o primeiro dos sábios para sair da sala. Ele colocou um rubi em sua caixa. Depois que o primeiro retornou, o segundo saiu e Hasen colocou uma esmeralda em sua caixa. Para o terceiro, ele colocou uma esmeralda. E assim por diante até o último. Quando o último sábio retornou, Hasen disse-lhes:
"Todos vocês viram as pedras dos outros, mas não sabem a sua própria pedra. Se você é sábio de fato e se você confia em sua mente e em seus olhos, nada o impede de você realizar o meu desejo. Todos que possuem esmeraldas, venham até aqui e coloquem a sua caixa aos pés do sultão."
Infelizmente, ninguém veio. O sultão ficou então furioso e ordenou que todos os seus sábios fossem banidos da corte, mas Hasen o deteve:
"Não aja precipitadamente, senhor. Eu também teria feito a mesma coisa."
Dez minutos depois, Hasen disse-lhes novamente:
"Todos que possuem esmeraldas, venham até aqui e coloquem a sua caixa aos pés do sultão!"
O mesmo silêncio, ninguém veio. Hasen repetiu o mesmo convite a cada dez minutos, e depois de uma hora, alguns dos sábios se levantaram e vieram para o sultão, que abriu suas caixas. Todas elas continham esmeraldas! Ele pediu para ver as caixas dos outros, onde todas tinham rubis. Temos que dizer que durante toda esta hora, os sábios não disseram nada, eles somente pensaram.
"Oh, senhor!", Hasen disse ao sultão, "Você pode se orgulhar do seu Conselho de Sábios. Eles são homens realmente sábios!" E dizendo-lhes adeus, deixou-os.
A história termina aqui, mas nós convidamos você a continuar, mostrando quantas esmeraldas Hasen havia colocado nas caixas dos sábios e como eles descobriram a pedra que possuíam...
RESPOSTA
A solução deste problema segue o conceito do conhecimento comum, que é a base da teoria dos jogos. Neste conceito, todos escolhem a melhor reação ao mesmo tempo, reproduzindo o equilíbrio de Nash.
São doze pedras, entre esmeraldas (e) e rubis (r), portanto e + r = 12. O convite foi repetido a cada dez minutos, durante uma hora, até que os que possuíam esmeraldas se dirigissem ao sultão. Desta forma, dentre os sessenta minutos o convite foi dito sete vezes, uma no início e seis após cada dez minutos.
Vamos avançar até o ponto de equilíbrio. Primeiramente vamos supor que exista somente uma esmeralda, sendo e = 1 e r = 11, mas eles não sabem disso. Neste caso, se houvesse apenas uma esmeralda, o sábio que estivesse com ela olharia para os outros e, vendo somente rubis, deduziria que a esmeralda estaria consigo. No primeiro convite ele já se levantaria para levar a caixa ao sultão.
Em um segundo raciocínio, vamos supor que existam duas esmeraldas e dez rubis, sendo e = 2 e r = 10, mas eles não sabem disso. Neste caso, cada um dos sábios com esmeraldas veria com os outros sábios a outra esmeralda e os dez rubis. No segundo convite, cada um dos dois sábios com esmeralda saberia que a esmeralda do outro não era a única e, vendo os demais com rubis, deduziria que a outra esmeralda estaria consigo. No segundo convite os dois se levantariam para levar a caixa ao sultão.
Este raciocínio é semelhante para e = 3 e r = 9, ocorrendo a dedução após o terceiro convite, para e = 4 e r = 8..., e = 5 e r = 7..., até e = 6 e r = 6, onde ocorre a dedução após o sexto convite. Percebe-se então a relação entre o número de convites e o número de esmeraldas.
Supondo que existam sete esmeraldas e cinco rubis, sendo e = 7 e r = 5, mas eles não sabem disso. Neste caso, cada um dos sábios com esmeraldas veria com os outros sábios outras seis esmeraldas e os cinco rubis. No sétimo convite, cada um dos sábios com esmeralda saberia que existem mais de seis esmeraldas e, vendo as seis esmeraldas e os cinco rubis, deduziria que a sétima esmeralda estaria consigo. No sétimo convite os sete sábios com esmeraldas se levantariam para levar a caixa ao sultão. E foi o que aconteceu.
A resposta do problema é que Hasen colocou sete esmeraldas e cinco rubis nas caixas.
Leia mais sobre conhecimento comum em http://dan-scientia.blogspot.com.br/2010/08/o-conhecimento-comum-e-o-equilibrio-de.html e um outro problema bastante interessante em http://dan-scientia.blogspot.com.br/2009/08/problema-de-logica-cor-dos-olhos.html
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