Problema de Lógica: 12 moedas

Atenção, este artigo inclui a resposta para o problema. Caso queira tentar descobrir antes de ler, tome o cuidado com seus olhos!

Tenho 12 moedas aparentemente iguais mas há uma que é diferente, não sei se ela é mais pesada ou mais leve que as demais. Com uma balança de dois pratos, como posso com apenas três pesagens, identificar a moeda diferente e dizer se ela é mais pesada ou mais leve que as outras?

RESPOSTA

Este problema dá para se resolver de duas formas, primeira por comparação e eliminação e segunda por análise das combinações:

1º)

Numerar as moedas de 1 a 12
Pesar¹ 1,2,3,4 contra 5,6,7,8
Se equilibrado
   Pesar² 6,7,8 contra 9,10,11
     Se equilibrado
        Pesar³ 12 contra qualquer outra
            Se a 12 for mais pesada a moeda diferente é a 12 e é mais pesada
            Se a 12 for mais leve a moeda diferente é a 12 e é mais leve
     Se desequilibrado e 9,10,11 for mais pesado
        Pesar³ 9 contra 10
            Se equilibrado a moeda diferente é a 11 e é mais pesada
            Se desequilibrado a moeda diferente é a mais pesada entre 9 e 10
     Se desequilibrado e 9,10,11 for mais leve
        Pesar³ 9 contra 10
            Se equilibrado a moeda diferente é a 11 e é mais leve
            Se desequilibrado a moeda diferente é a mais leve entre 9 e 10
Se desequilibrado e 5,6,7,8 for mais pesado
   Pesar² 1,2,5 contra 3,6,10
     Se equilibrado
        Pesar³ 7 contra 8
            Se equilibrado a moeda diferente é a 4 e é mais leve
            Se desequilibrado a moeda diferente é a mais pesada entre 7 e 8
     Se desequilibrado e 3,6,10 for mais pesado
        Pesar³ 1 contra 2
            Se equilibrado a moeda diferente é a 6 e é mais pesada
            Se desequilibrado a moeda diferente é a mais leve entre 1 e 2
     Se desequilibrado e 3,6,10 for mais leve
        Pesar³ 3 contra 10
            Se equilibrado a moeda diferente é a 5 e é mais pesada
            Se desequilibrado a moeda diferente é a 3 e é mais leve
Se desequilibrado e 5,6,7,8 for mais leve
   Pesar² 1,2,5 contra 3,6,10
     Se equilibrado
        Pesar³ 7 contra 8
            Se equilibrado a moeda diferente é a 4 e é mais pesada
            Se desequilibrado a moeda diferente é a mais leve entre 7 e 8
     Se desequilibrado e 3,6,10 for mais leve
        Pesar³ 1 contra 2
            Se equilibrado a moeda diferente é a 6 e é mais leve
            Se desequilibrado a moeda diferente é a mais pesada entre 1 e 2
     Se desequilibrado e 3,6,10 for mais pesado
        Pesar³ 3 contra 10
            Se equilibrado a moeda diferente é a 5 e é mais leve
            Se desequilibrado a moeda diferente é a 3 e é mais pesada

2º)

Analisando um lado da balança, as possibilidades de resultado de uma pesagem são mais pesado, mais leve e equilibrado.

Sendo três pesagens e podendo ocorrer uma dessas três possibilidades em cada pesagem, temos assim 3³ = 27 combinações de resultados possíveis.

Pesagem             1ª            2ª            3ª
Possibilidade  P ou L ou E   P ou L ou E   P ou L ou E

Três combinações são descartadas, EEE, LLL e PPP, senão uma moeda estaria de fora em todas as pesagens ou estaria sempre do mesmo lado.

As 24 combinações restantes são organizadas em pares, juntando duas combinações onde é invertida somente as possibilidades pesado e leve e mantendo a possibilidade equilibrado. Por exemplo o par EPL-ELP.

Os pares são divididos formando dois grupos que se invertem par a par. Cada moeda, numeradas de 1 a 12, é associada a um par.

Um dos grupos é escolhido para montar a configuração das moedas na balança, para 1ª, 2ª e 3ª pesagem, onde é colocada as moedas correspondentes à possibilidade pesado no prato da esquerda e à possibilidade leve no prato da direita. As moedas correspondentes à possibilidade equilibrado ficam de fora da referida pesagem.

A cada uma das três pesagens realizadas é anotado os resultados do lado esquerdo da balança, se é mais pesado, mais leve ou equilibrado em comparação à direita.

A moeda que estiver associada à esta combinação é a moeda diferente.

Se a combinação estiver dentro do grupo escolhido para a configuração das moedas, a moeda diferente é mais pesada que as demais, se estiver no outro grupo a moeda é mais leve.

   ------------------------- Grupo escolhido
 |
 123      123 <----------------- Pesagens
 EPL | 1| ELP              esquerda     direita
 PLE | 2| LPE       1ªP   2, 3, 6, 8 - 7,10,11,12
 PEL | 3| LEP       2ªP   1, 9,11,12 - 2, 5, 7,10
 EEL | 4| EEP       3ªP   8, 9,10,12 - 1, 3, 4,11
 ELE | 5| EPE
 PEE | 6| LEE
 LLE | 7| PPE       Ex1: Se a moeda diferente fosse a 7 e mais pesada
 PEP | 8| LEL            o resultado do lado esquerdo da balança seria LLE.
 EPP | 9| ELL       Ex2: Se a moeda diferente fosse a 9 e mais leve
 LLP |10| PPL            o resultado do lado esquerdo da balança seria ELL.
 LPL |11| PLP
 LPP |12| PLL